今回のコラムではある数から始めて，一定の手続きを繰り返すと最初の数の戻るという現象についての未解決問題を紹介します．

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【１】コラッツの３ｎ＋１問題

　数をひとつ勝手に選ぶ．

［１］その数が奇数なら，３倍して１を加える．

［２］その数が偶数なら，２で割る．

　どんな数を最初に選ぼうとも，この操作を繰り返し行えば必ず１になって終わる（最後はいつも４→２→１というループに陥る）．しかし，あらゆる数に対して成り立つという証明も反例となる数値も見つかっていない．

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【２】１０を原始根とする素数

１／７＝０．１４２８５７１４２８５７・・・

　　　　（循環節：１４２７５８の長さ６）

１／１７＝０．０５８８２３５２９４１１７６４７・・・

　　　　（循環節：０５８８２３５２９４１１７６４７の長さ１６）

のように，１／ｐを１０進法で小数展開したときの循環節の長さがｐ−１となる特別な素数を１０を原始根とする素数（あるいはfull-reptendな素数）といいます．

　１０を原始根とする素数，たとえば，

　　７，１７，１９，２３，２９，４７，５９，６１，９７，・・・

の密度について，アルティンは

　　π10（ｘ）=Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）

と予想しています．ただし，ｐを素数として，Ｃは

　　Ｃ＝Π（１−１／ｐ（ｐ−１））＝０．３７３９５・・・（アルティンの定数）

　もし，これが正しいとすれば，このような素数は無限にあり，素数全体のうち約３／８を占めることになるのですが，残念ながら証明されていません．

　しかしながら，リーマン予想：ζ（ｓ）の零点がｓ＝−２，−４，・・・，−２ｎとｓ＝１／２＋ｔｉの線上にある：が正しいと仮定するとアルティン予想の成り立つことが証明できることがわかっています．

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