整数が２のベキ乗の倍数であるか否かを判定する方法は，
［１］ｘ＝２：１の位が０，２，４，６，８
［２］ｘ＝４：下２桁が４の倍数（１００は４の倍数だから）
［３］ｘ＝８：下３桁が８の倍数（１０００は８の倍数だから）
［４］ｘ＝１６：下４桁が１６の倍数（１００００は１６の倍数だから）
整数が５のベキ乗の倍数であるか否かを判定する方法は，
［１］ｘ＝５：１の位が０，５
［１］ｘ＝２５：下２桁が２５の倍数
［３］ｘ＝１２５：下３桁が１２５の倍数
［４］ｘ＝６２５：下４桁が６２５の倍数
整数が３のベキ乗の倍数であるか否かを判定する方法は，
［１］ｘ＝３：各位の数の和が３の倍数
［２］ｘ＝９：各位の数の和が９の倍数
［３］ｘ＝２７：各位の数の和が２７の倍数
［４］ｘ＝８１：各位の数の和が８１の倍数
各位の数の和が３の倍数のとき，そのときに限り３の倍数である．また，各位の数の和が９の倍数のとき，そのときに限り９の倍数である．
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【１】合成数による整除性
［１］ｘ＝６：１の位が０，２，４，６，８かつ各位の数の和が３の倍数（２の倍数かつ３の倍数）
［２］ｘ＝１０：１の位が０（２の倍数かつ５の倍数）
［３］ｘ＝１２：下２桁が４の倍数かつ各位の数の和が３の倍数（３の倍数かつ４の倍数）：３と４は１２の互いに素な因数（２と６は互いに素でない）
［４］ｘ＝１８：２の倍数かつ９の倍数）：２と９は１８の互いに素な因数（３と６は互いに素でない）
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【２】素数による整除性
［１］奇数番目の桁の数の和と偶数番目の桁の数の和との差が１１の倍数のとき，そのときに限り１１の倍数である．
ある整数から１００１をどんどん引いていけば最終的には１０００以下の整数になる．この整数
Ｐ＝ａ3・１０^2＋ａ2・１０＋ａ1
において
［２］３桁の数が７の倍数であるためには２ａ3＋３ａ2＋ａ3が７の倍数になることが必要十分である．
［３］３桁の数が１３の倍数であるためには−４ａ3−３ａ2＋ａ3が１３の倍数になることが必要十分である．
素数７による整除性について補足しよう．与えられた数を
Ｐ＝ａn・１０^(n-1)＋ａn-1・１０^(n-2)＋・・・＋ａ2・１０＋ａ1
とする．
［４］１の位の数を除去し，残った数から除去した数の２倍を引く．
Ｑ＝ａn・１０^(n-2)＋ａn-1・１０^(n-3)＋・・・＋ａ2−２ａ1
この数が７で割り切れるとき，そのときに限り元の数Ｐは７で割り切れる．（この数が大きすぎる場合は，この操作を何度でも繰り返すことができる）
この操作の意味を考えてみると
Ｐ−１０Ｑ＝２１ａ1＝７・３ａ1
より，７の倍数を元の数から引くことを意味している．したがって，残った数が７で割り切れれば，元の数も７で割り切れることになる．
元の数の桁が非常に多い場合が下３桁を除去し残りから引くことで処理がずっと高速化される．
Ｑ＝ａn・１０^(n-4)＋ａn-1・１０^(n-5)＋・・・＋ａ4−（ａ3・１０^2＋ａ2・１０＋ａ1）
Ｐ−１０００Ｑ＝１００１（ａ3・１０^2＋ａ2・１０＋ａ1）＝７・１１・１３（ａ3・１０^2＋ａ2・１０＋ａ1）
この操作の正当性は１００１が７で割り切れることからきているのである．
［５］下３桁の数を除去し，残った数から除去した数を引く．この数が７で割り切れるとき，そのときに限り元の数は７で割り切れる．
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素数１３による整除性のためには，
［６］１の位の数を除去し，残った数から除去した数の９倍を引く．
Ｑ＝ａn・１０^(n-2)＋ａn-1・１０^(n-3)＋・・・＋ａ2−９ａ1
この数が１３で割り切れるとき，そのときに限り元の数Ｐは１３で割り切れる．（この数が大きすぎる場合は，この操作を何度でも繰り返すことができる）
この操作の意味を考えてみると
Ｐ−１０Ｑ＝９１ａ1＝１３・７ａ1
より，１３の倍数を元の数から引くことを意味している．したがって，残った数が１３で割り切れれば，元の数も１３で割り切れることになる．
元の数の桁が非常に多い場合が下３桁を除去し残りから引くことで処理がずっと高速化される．
Ｑ＝ａn・１０^(n-4)＋ａn-1・１０^(n-5)＋・・・＋ａ4−（ａ3・１０^2＋ａ2・１０＋ａ1）
Ｐ−１０００Ｑ＝１００１（ａ3・１０^2＋ａ2・１０＋ａ1）＝７・１１・１３（ａ3・１０^2＋ａ2・１０＋ａ1）
この操作の正当性は１００１が１３で割り切れることからきているのである．
［７］下３桁の数を除去し，残った数から除去した数を引く．この数が１３で割り切れるとき，そのときに限り元の数は１３で割り切れる．
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素数１７による整除性のためには，
［８］１の位の数を除去し，残った数から除去した数の５倍を引く．
Ｑ＝ａn・１０^(n-2)＋ａn-1・１０^(n-3)＋・・・＋ａ2−５ａ1
この数が１７で割り切れるとき，そのときに限り元の数Ｐは１７で割り切れる．（この数が大きすぎる場合は，この操作を何度でも繰り返すことができる）
この操作の意味を考えてみると
Ｐ−１０Ｑ＝５１ａ1＝１７・３ａ1
より，１７の倍数を元の数から引くことを意味している．したがって，残った数が１７で割り切れれば，元の数も１７で割り切れることになる．
以下，
［９］素数１９による整除性のためには，１の位の数を除去し，残った数から除去した数の１７倍を引く．１７１＝１９・９
［１０］素数２３による整除性のためには，１の位の数を除去し，残った数から除去した数の１６倍を引く．１６１＝２３・７
［１１］素数２９による整除性のためには，１の位の数を除去し，残った数から除去した数の２６倍を引く．２６１＝２９・９
［１２］素数３１による整除性のためには，１の位の数を除去し，残った数から除去した数の３倍を引く．３１＝３１
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