（その１）（その２）では４次元正１２０胞体の頂点をうまくとると，他の正５，８，１６，２４，６００胞体をすべて作ることができる．その意味で，正１２０胞体は４次元の「万有正多面体」であることを説明した．

　３次元の正１２面体の頂点からは正４面体と立方体を作ることができるが，正８面体と正２０面体は面の中心を使わなければ作ることができないから，正１２０胞体ほど完全な万有正多面体ではないのである．５次元以上ではどうだろうか？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　超立方体（頂点数２^n），正軸体（頂点数２ｎ），正単体（頂点数ｎ＋１）の３種類のｎ次元正多胞体の包含関係を調べてみる．

［１］超立方体と正軸体

　　２^n＝ｋ・２ｎ

の形でなければならないことがわかる．ｋｎ＝２^n-1より，ｎは（ｋも）２^mの形でなければならない．ｎは偶数．

［２］超立方体と正単体

　　２^n＝ｋ・（ｎ＋１）

ｎ＋１は（ｋも）２^mの形でなければならない．ｎは奇数となり［１］と矛盾する．よって，ｎ（≧５）次元超立方体は万有正多面体とはなり得ない．

［３］正軸体と正単体

　　２ｎ＝ｋ・（ｎ＋１），ｋ≧２

より，（任意のｎ次元において）包含関係が成立することはあり得ない．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　実は，超立方体の頂点をひとつおきにとると別の正多面体になるのは３次元・４次元の特殊性である（５次元以上の空間では正多面体ではなく，１種の準正多面体になる）．

　　２^n＝２・２ｎ　→　４次元超立方体の頂点をひとつおきに結べば，正１６胞体ができる．

　　２^n＝２・（ｎ＋１）　→　３次元立方体の頂点をひとつおきに結べば，正４面体ができる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝