６種類ある４次元正多胞体の包含関係を考えよう．興味深いことに，正１２０胞体の頂点をうまくとると，他の正５，８，１６，２４，６００胞体をすべて作ることができる．

　その意味で，正１２０胞体は４次元の「万有正多面体」である．３次元の正１２面体の頂点からは正４面体と立方体を作ることができるが，正８面体と正２０面体は面の中心を使わなければ作ることができないから，正１２０胞体ほど完全な万有正多面体ではないのである．

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【１】標準的な直交変換

［１］正２４胞体の頂点の座標は

　　（±１，±１，±１，±１）・・・正８胞体の頂点

　　（±２，０，０，０），（０，±２，０，０），（０，０，±２，０），（０，０，０，±２）・・・正１６胞体の頂点

の２４点である．

　正２４胞体の構成には他の方法もあり，（±１，±１，０，０）を置換した２４点から作るものである．これは正８胞体の２次元面２４個の中心をとったものである．

［２］４次元正１２０胞体の構成は４次元正正多胞体のなかでも最も厄介であるが，６００個の頂点の座標は，Coxter, Regular Polytope （改訂版, Dover, 1973），p157によれば

　　（±２，±２，０，０），（±√５，±１，±１，±１），（±τ，±τ，±τ，±１／τ^2），（±τ^2，±１／τ，±１／τ，±１／τ）の置換と（±τ^2，±１／τ^2，±１，０），（±√５，±１／τ，±τ，０），（±２，±１，±τ，±１／τ）の偶置換で与えられると記述されている．

　その際，

［３］（±２，±２，０，０）を置換した２４点

を，

［４］（±４，０，０，０），（±２，±２，±２，±２）の置換の計２４点

にうつす標準的な直交変換を考える．

　［３］から互いに直交する代表的な４点（２，２，０，０），（２，−２，０，０），（０，０，２，２），（０，０，２，−２）の座標を縦に並べて書く．すなわち，

　　［２，　２，０，　０］

　　［２，−２，０，　０］

　　［０，　０，２，　２］

　　［０，　０，２，−２］

をとり，これを［４］の

　　［４，０，０，０］

　　［０，４，０，０］

　　［０，０，４，０］

　　［０，０，０，４］

にうつす行列を計算すると，変換行列Ｒは

　　［１，　１，０，　０］

　　［１，−１，０，　０］

　　［０，　０，１，　１］

　　［０，　０，１，−１］

になる．

　これは直交変換して√２倍する変換であるが，この変換行列はひとつの例であって，他にも多数の取り方がある．

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【２】正１２０胞体の伸縮と回転

　その選び方はいろいろあるが，

［０］（±２，±２，０，０），（±√５，±１，±１，±１），（±τ，±τ，±τ，±１／τ^2），（±τ^2，±１／τ，±１／τ，±１／τ）の置換と（±τ^2，±１／τ^2，±１，０），（±√５，±１／τ，±τ，０），（±２，±１，±τ，±１／τ）の偶置換の各点は，この行列によってどれかの点にうつされる．

　頂点全個数を書くわけにはいかず，ここには代表的な７点を書くが，

　　Ｒ（２，２，０，０）→（４，０，０，０）

　　Ｒ（√５，１，１，１）→（２τ，２／τ，２，０）

　　Ｒ（τ，τ，τ，１／τ^2）→（２τ，０，２，２／τ）

　　Ｒ（τ^2，１／τ，１／τ，１／τ）→（２τ，２，２／τ，０）

　　Ｒ（τ^2，１／τ^2，１，０）→（３，√５，１，１）

　　Ｒ（√５，１／τ，τ，０）→（（３√５−１）／２，τ，τ，τ）

　　Ｒ（２，１，τ，１／τ）→（３，１，√５，１）

　まとめて記述すると

［１］（±２，０，０，０）の置換

［２］（±τ，±１，±１／τ，０）の置換

［３］（±１，±１，±１，±１）の置換

［４］（√５／２，√５／２，√５／２，１／２），（τ^2／２，τ^2／２，√５／２τ，１／２τ），（σ／２，１／２τ，１／２τ，１／２τ），（τ√５／２，τ／２，１／２τ^2，１／２τ^2）およびこれに偶数個の負号をつけた点の置換

［５］（σ’／２，τ／２，τ／２，τ／２），（３／２，√５／２，１／２，１／２）およびこれに奇数個の負号をつけた点の置換にも表される．ここで，

　　σ＝（３√５＋１）／２，σ’＝（３√５−１）／２

　これで誤りはないように思う（しかしもしご不審の点がありましたらご注意賜れば幸いです）．そして，４次元正多胞体の包含関係を決定するのには［０］でなく，［１］〜［５］が大変有用であったことを申し添えておきたい．

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