階乗ｎ！の近似値を与える公式として有名なスターリングの公式があります．
ｎ！ 〜 √（２πｎ）ｎ^nｅ^(-n)
スターリングの公式では，ｎ＝８のとき相対誤差は約１％ですが，ｎが大きくなるほど相対誤差は小さくなります．
まず，スターリングの公式を誘導してみましょう．
ｌｏｇｎ！＝ｌｏｇ１＋ｌｏｇ２＋・・・＋ｌｏｇｎ
＝Σｌｏｇｘ
ここで，ｙ＝ｌｏｇｘのグラフを幅が１の長方形に分割していくと，ｘが十分大きければ相対的に和の間隔が小さくなるので，和は積分に置き換えられます．
Σｌｏｇｘ≒∫(1,n)ｌｏｇｔｄｔ
ｌｏｇｘの原始関数は置換積分よりｘｌｏｇｘ−ｘ＋Ｃと計算され，区間［１，ｎ］ですから，
∫(1,n)ｌｏｇｔｄｔ＝ｎｌｏｇｎ−ｎ＋１
となります．
ｌｏｇ（ｎ−１）！＜∫(1,n)ｌｏｇｔｄｔ＜ｌｏｇｎ！
より，ｎ！の下からの評価は
∫(1,n)ｌｏｇｔｄｔ＜ｌｏｇｎ！
したがって，
ｎ！＞ｅｘｐ（ｎｌｏｇｎ−ｎ＋１）＝ｅｎ^nｅ^(-n)＝ｅ（ｎ／ｅ）^n
が得られます．
また，上からの評価は
ｌｏｇｎ！＜∫(1,n+1)ｌｏｇｔｄｔ
より，
ｎ！＜ｅｘｐ（（ｎ＋１）ｌｏｇ（ｎ＋１）−ｎ）＝（ｎ＋１）^(n+1)／ｅ^n
したがって，
ｎ！＝ｎ（ｎ−１）！＜ｎｅｘｐ（ｎｌｏｇｎ−ｎ＋１）＝ｅｎ（ｎ／ｅ）^n
が得られます．
ｅ（ｎ／ｅ）^n＜ｎ！＜ｅｎ（ｎ／ｅ）^n
ここで，スターリングの公式
ｎ！ 〜 √（２πｎ）（ｎ／ｅ）^n
で与えられるような漸近挙動を得るには，もっと注意深い解析が必要になることがわかりしたますが，
ｅ＜√（２πｎ）＜ｅｎ
より，ここでは，スターリングの公式が上下の評価式の中間に位置することだけ指摘しておきます．
ｅ（ｎ／ｅ）^n＜√（２πｎ）（ｎ／ｅ）^n＜ｅｎ（ｎ／ｅ）^n
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【１】スターリングの公式の初等的証明
Σｌｏｇｘ≒∫(1,x)ｌｏｇｔｄｔ
ｌｏｇｘの原始関数は置換積分よりｘｌｏｇｘ−ｘ＋Ｃと計算されますから，右辺はｘｌｏｇｘ−ｘ＋１となります．したがって，
ｎ！≒ｅｎ^nｅｘｐ（−ｎ）
が得られます．
もっと正確に近似すると
∫(0,n)ｌｏｇｔｄｔ<ｌｏｇｎ！<∫(1,n+1)ｌｏｇｔｄｔ
より
ｎｌｏｇｎ−ｎ<ｌｏｇｎ！<（ｎ＋１）ｌｏｇ（ｎ＋１）−ｎ
したがって，両辺の相加平均に近い（ｎ＋１／２）ｌｏｇｎ−ｎでｌｏｇｎ！を近似できることになり，
∫(1,x)ｌｏｇｔｄｔ
＝ｌｏｇ１＋ｌｏｇ２＋・・・＋ｌｏｇｘ−１／２ｌｏｇｘ＋δ
であること，また，ウォリスの公式：
√π〜（ｎ！）^2２^2n／（２ｎ）！√ｎ
より，結局，
ｎ！〜√（２πｎ）ｎ^nｅｘｐ（−ｎ）
にたどりつきます．
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【２】ｌｏｇ（ｎ！）の誤差評価
ｌｏｇ（ｎ！）
＝Ｃ＋ｎｌｏｇｎ−ｎ＋１／２・ｌｏｇｎ＋∫(n,∞)σ（ｘ）ｄｘ／ｘ^2
＝ｎｌｏｇｎ−ｎ＋Ｏ（ｌｏｇｎ）
また，ｎ！を素因数分解したとき，ある素数ｐがｐ^rの形で含まれていたとすると，ガウス記号［・］を用いて
ｒ＝［ｎ／ｐ］＋［ｎ／ｐ^2］＋・・・＋［ｎ／ｐ^s］＋・・・
であるが，
ｌｏｇ（［ｎ！］）
＝Σ（［ｎ／ｐ］＋［ｎ／ｐ^2］＋・・・＋［ｎ／ｐ^s］＋・・・）ｌｏｇｐ
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【３】二項係数の奇偶性
（Ｑ）（ａ＋ｂ）^nの二項展開の係数は，ｎが２^k−１の形であるとき，そのときに限りすべて奇数となることを証明せよ．
（Ａ）（ａ＋ｂ），（ａ＋ｂ）^2，・・・，（ａ＋ｂ）^n-1に対して成り立っていると仮定して，（ａ＋ｂ）^nに対しても成り立つことを証明する．
両端の１を除くｎ−１個の二項係数は
ｎ／１＝ｎ，ｎ（ｎ−１）／１・２，・・・，ｎ（ｎ−１）・・・１／１・２・・・（ｎ−１）＝ｎ
これらがすべて奇数であるための必要十分条件は
［１］両端のｎが奇数であること
［２］残りの数の分母、分子から奇数を取り去って作られる数が奇数であることである．
ｎ＝２ｍ＋１とおけば，これらの数は
ｍ／１＝ｍ，ｍ（ｍ−１）／１・２，・・・，ｍ（ｍ−１）・・・１／１・２・・・（ｍ−１）＝ｍ
で表される．ｍ＜ｎであるから，このｍ−１個の数はｍが２^k-1−１の形であるとき，そのときに限りすべて奇数となる．
ｎ＝２ｍ＋１＝２（２^k-1−１）＋１＝２^k−１
より，ＱＥＤ．
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