ｎ≧１とする．分母が正でかつτを越えないようなすべての既約分数を増大する順に並べたものを，位数ｎのファレイ数列と呼ぶ．コラム「補遺・ファレイ数列」ではまったく証明を与えなかったので，今回のコラムでは幾ばくかの証明を添えておきたい．

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【１】ファレイ数列の生成

　ｎ位のファレイ数列とは分子と分母がｎを超えない既約な正の有理数全体を大きさの順に並べたものであるが，まず［０／１，１／１］からはじめ，（０＋１）／（１＋１）＝１／２をはじめの２つの分数の間に挿入する．→［０／１，１／１］

漸次，隣接する２項ｐ／ｑとｒ／ｓの間に中間分数

　　（ｐ＋ｒ）／（ｑ＋ｓ）

を挿入する操作を可能な限り続けることによって得られる．

［０／１，１／１］

→［０／１，１／２，１／１］（２位のファレイ数列）

→［０／１，１／３，１／２，２／３，１／１］（３位のファレイ数列）

→［０／１，１／４，１／３，１／２，２／３，３／４，１／１］（４位のファレイ数列）

→［０／１，１／４，１／３，２／５，１／２，３／５，２／３，３／４，１／１］（５位のファレイ数列）

→［０／１，１／６，１／５，１／４，１／３，２／５，１／２，３／５，２／３，３／４，４／５，５／６，１／１］（６位のファレイ数列）

→［・・・，０／１，１／７，１／６，１／５，１／４，２／７，１／３，２／５，３／７，１／２，４／７，３／５，２／３，５／７，３／４，４／５，５／６，６／７，１／１，・・・］（７位のファレイ数列）

→［０／１，１／５，１／４，２／７，１／３，３／８，２／５，３／７，１／２，４／７，３／５，５／８，２／３，５／７，３／４，４／５，１／１］（８位のファレイ数列）

が得られる．

　位数ｎのファレイ数列の長さは，オイラー関数φ（ｎ）を用いて，

　　１＋φ（１）＋φ（２）＋・・・＋φ（ｎ−１）＋φ（ｎ）

　〜３（ｎ／π）^2〜０．３０３９６ｎ^2

になる．この近似はｎが大きくなるにつれてよくなっていく．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　ファレイ数列では相隣り合う２項［ｍ1／ｎ1，ｍ2／ｎ2］の分母と分子からなる行列式の値ｍ1ｎ2−ｍ2ｎ1は±１である．すなわち，交差積ｍ1ｎ2とｍ2ｎ1は連続する整数になる．

（証）［０／１，１／１］に対して，０・１−１・１＝−１．ａｄ−ｂｃ＝−が成り立っているような［ａ／ｂ，ｃ／ｄ］の間に，（ａ＋ｃ）／（ｂ＋ｄ）を挿入すれば

　　ａ（ｂ＋ｄ）−ｂ（ａ＋ｃ）＝（ａ＋ｃ）ｄ−（ｂ＋ｄ）ｃ＝−１

　さらにｌ＜ｎでかつａ／ｂ＜ｋ／ｌ＜ｃ／ｄとなるようなｋ／ｌは存在しない．もし存在したとすれば

　　ｋ／ｌ−ａ／ｂ≧１／ｌｂ，ｃ／ｄ−ｋ／ｌ≧１／ｌｄ

　　ｃ／ｄ−ａ／ｂ≧（ｂ＋ｄ）／ｌｂｄ＞１／ｂｄ

となって矛盾を生ずる．

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【２】ファレイ数列とディオファントス近似

　任意の実数αは

　　α＝Ｐ／Ｑ＋θ／Ｑｎ

　　０≦Ｑ＜ｎ，（Ｐ，Ｑ）＝１，｜θ｜＝１

の形に表される．

（証）ファレイ数列の中から相隣る２項ａ／ｂ，ｃ／ｄをとって，

　　ａ／ｂ≦α＜ｃ／ｄ

となったとする．２つの場合，

　　ａ／ｂ≦α＜（ａ＋ｃ）／（ｂ＋ｄ）

　　（ａ＋ｃ）／（ｂ＋ｄ）≦α＜ｃ／ｄ

に分かれるから，以下の２つの不等式のいずれか一方が成り立つ．

　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／ｂ（ｂ＋ｄ）

　　｜α−ｃ／ｄ｜≦１／ｄ（ｂ＋ｄ）

ｂ＋ｄ＞ｎであることを考えればＱＥＤ．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　分母が高々ｄの有理数からなる位数ｄのファレイ数列の各項は１／ｄ^2≦ｙ＜１／（ｄ＋１）^2の任意の水平線と交わるフォードの円と対応することにより，いくつかのディオファントス近似に関する定理は，（双曲）幾何学的に自明なものとなる．

　たとえば，任意の無理数αに対して

　　｜α−ｐ／ｑ｜＜１／２ｑ^2

を満たすものが無数に存在するという定理がそうである．直線ｘ＝αが連接する２つのフォードの円ｐ／ｑ，ｒ／ｓのどちらか一方に交わる．それがｐ／ｑであるとすると｜α−ｐ／ｑ｜＜１／２ｑ^2が成り立たなければならないからである．

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