領域ｘ^2＋ｙ^2≦ｒ^2に含まれる格子点の数をＴとすると，ガウスは

　　｜Ｔ−πｒ^2｜＜ｃｒ

を示したが，

　　｜Ｔ−πｒ^2｜＜ｃｒ^k

となるｋの最小値を求める問題に一般化される．

　シェルピンスキーはｋ≦２／３を証明し，ガウスのｋ＝１を大きく改善した．ヴィノグラードフはｋ≦３４／５３，１９６３年に陳景潤はｋ≦２４／３７を，１９９０年にハクスリーはｋ≦４６／７３を得たが，シェルピンスキーの成果からほんのわずかしか進んでいない．最近，ハクスリーは４６／７３を１３１／２０８に改良している．

　下の値は１９１５年，ハーディとランダウが与えたｋ＝１／２と予想されている．

　　Ｔ＝πｒ^2＋Ｏ（ｒ^1/2）

　今回のコラムでは

　　Ｔ＝πｒ^2＋Ｏ（ｒ^2/3ｌｏｇｒ）

であることを証明したい．

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　領域ｘ^2＋ｙ^2≦ｒ^2に含まれる格子点の数をＴとすると

　　Ｔ＝１＋４［ｒ］＋８Σ［√（ｒ^2−ｘ^2）］−４［ｒ／√２］

（証）

　Ｔ1：ｘ＝０，０＜ｙ≦ｒ

　Ｔ2：０＜ｘ≦ｒ／√２，０＜ｙ≦√（ｒ^2−ｘ^2）

　Ｔ3：０＜ｙ≦ｒ／√２，０＜ｘ≦√（ｒ^2−ｙ^2）

　Ｔ4：０＜ｘ≦ｒ／√２，０＜ｙ≦ｒ／√２

とすると，求める数はＴ＝１＋４（Ｔ1＋Ｔ2＋Ｔ3−Ｔ4）

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　したがって，区間０＜ｘ≦ｒ／√２において，ｆ（ｘ）＝√（ｒ^2−ｘ^2）とおくと，

　　ｆ’（ｘ）＝−ｘ／√（ｒ^2−ｘ^2）

　　ｆ”（ｘ）＝−ｒ^2／（ｒ^2−ｘ^2）^3/2

　　１／ｒ≦｜ｆ”（ｘ）｜≦√８／ｒ

　区間Ｑ≦ｘ≦Ｒにおいて，１／Ａ≦｜ｆ”（ｘ）｜≦ｋ／Ａのとき，

　　Σ｛ｆ（ｘ）｝＝１／２｜Ｒ−Ｑ｜＋θΔ，｜θ｜＜１

　　Δ＝（２ｋ^2（Ｒ−Ｑ）ｌｏｇＡ＋＋８ｋＡ）Ａ^-1/3

　ここで，ソニンの公式を適用すると

　　Ｔ＝４ｒ＋８∫(0,r/√2)√（ｒ^2−ｘ^2）ｄｘ＋８ρ（ｒ／√２）−８ρ（０）ｒ−４ｒ／√２−４ｒ^2／２＋８ｒ／√２｛ｒ／√２｝＋Ｏ（ｒ^2/3ｌｏｇｒ）

　　Ｔ＝πｒ^2＋Ｏ（ｒ^2/3ｌｏｇｒ）

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