ｎ！を素因数分解したとき，ある素数ｐがｐ^rの形で含まれていたとすると，ガウス記号［・］を用いて

　　ｒ＝［ｎ／ｐ］＋［ｎ／ｐ^2］＋・・・＋［ｎ／ｐ^s］＋・・・

（Ｑ）ａ＋ｂ＋・・・＋ｌ＝ｎとおく．このことを適用して

　　ｎ！／ａ！ｂ！・・・ｌ！

が整数であることを証明せよ．

（Ａ）素数ｐはｎ！，ａ！，ｂ！，・・・，ｌ！をそれぞれ

　　［ｎ／ｐ］＋［ｎ／ｐ^2］＋・・・

　　［ａ／ｐ］＋［ａ／ｐ^2］＋・・・

　　［ｂ／ｐ］＋［ｂ／ｐ^2］＋・・・

　　［ｌ／ｐ］＋［ｌ／ｐ^2］＋・・・

で割り切る．しかも，

　　［ｎ／ｐ^s］≧［ａ／ｐ^s］＋［ｂ／ｐ^s］＋・・・＋［ｌ／ｐ^s］

であることよりＱＥＤ．

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［参］天秤の問題では，

　　１，３，３^2，３^3，３^4，・・・，３^r

のおもりによって，１から（３^(r+1)−１）／２グラムまでのすべての整数の重さを量ることができ，しかもそれが唯一の方法であるという．

　一般に，母関数に関する美しい恒等式

　　Π（１＋ｘ^(3^n)＋ｘ^-(3^n)）＝Σｘ^n

が成り立つ．

　ここでは，ａn，ａn-1，・・・，ａ1，ａ0が互いに独立に−１，０，１を動くとき，

　　Ｐ＝３^nａn＋３^n-1ａn-1＋・・・＋３ａ1＋ａ0

によって，（２Ｈ＋１）個の数

　　−Ｈ，・・・，−１，０，１，・・・，Ｈ

　　　（Ｈ＝３^n+1−１）／（３−１））

が一意位に表示されることを証明する．

（Ａ）Ｐ＝３^nａn＋３^n-1ａn-1＋・・・＋３ａ1＋ａ0に

　　Ｈ＝３^n＋３^n-1＋・・・＋３＋１

を加えれば，ａn，ａn-1，・・・，ａ1，ａ0に０，１，２という値をとらせたときの数，すなわち，０，１，・・・，２Ｈのすべてが得られる．

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