整数がｘの倍数であるか否かを判定する方法は，中学数学の問題だと思うが，

［１］ｘ＝２：１の位が０，２，４，６，８

［２］ｘ＝３：各位の数の和が３の倍数

［３］ｘ＝４：下２桁が４の倍数（１００は４の倍数だから）

［４］ｘ＝５：１の位が０，５

［５］ｘ＝６：１の位が０，２，４，６，８かつ各位の数の和が３の倍数

［６］ｘ＝８：下３桁が８の倍数（１０００は８の倍数だから）

［７］ｘ＝９：各位の数の和が９の倍数

［８］ｘ＝１０：１の位が０

［９］ｘ＝１２：下２桁が４の倍数かつ各位の数の和が３の倍数

　７の倍数であることの判定法はあるにはあるのだが煩わしいので，まず３，９，１１の倍数であることの判定法を導いてみよう．

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　　Ｐ＝ａn・１０^(n-1)＋ａn-1・１０^(n-2)＋・・・＋ａ1

において，１０＝１（ｍｏｄ９）より

　　Ｐ＝ａn＋ａn-1＋・・・＋ａ1　　（ｍｏｄ９）

したがって，

［１］各位の数の和が３の倍数のとき，そのときに限り３の倍数である．

［２］各位の数の和が９の倍数のとき，そのときに限り９の倍数である．

　また，１０＝−１（ｍｏｄ１１）より

　　Ｐ＝（ａ1＋ａ3＋・・・）−（ａ2＋ａ4＋・・・）　　（ｍｏｄ１１）

したがって，

［３］奇数番目の桁の数の和と偶数番目の桁の数の和との差が１１の倍数のとき，そのときに限り１１の倍数である．

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　整数を普通の１０進法で表した場合の倍数の判定法はよいとして，整数を１００進法で表した場合

　　Ｐ＝ａn・１００^(n-1)＋ａn-1・１００^(n-2)＋・・・＋ａ1

その数が１０１で割り切れるかどうかの判定法となるとどうだろうか？

　１００＝−１（ｍｏｄ１０１）より

　　Ｐ＝（ａ1＋ａ3＋・・・）−（ａ2＋ａ4＋・・・）　　（ｍｏｄ１１）

したがって，

［４］奇数番目の桁の数の和と偶数番目の桁の数の和との差が１０１の倍数のとき，そのときに限り１０１の倍数である．

　整数を１０００進法で表した場合

　　Ｐ＝ａn・１０００^(n-1)＋ａn-1・１０００^(n-2)＋・・・＋ａ1

その数が３７で割り切れるかどうかの判定法は，１０００＝１（ｍｏｄ３７）より

　　Ｐ＝ａn＋ａn-1＋・・・＋ａ1　　（ｍｏｄ３７）

［５］各位の数の和が３７の倍数のとき，そのときに限り３７の倍数である．

　また，１０００＝−１（ｍｏｄ７・１１・１３＝１００１）より

　　Ｐ＝（ａ1＋ａ3＋・・・）−（ａ2＋ａ4＋・・・）　　（ｍｏｄ７・１１・１３）

［６］奇数番目の桁の数の和と偶数番目の桁の数の和との差が７，１１，１３の倍数のとき，そのときに限りその数のの倍数である．

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　ところで，１００１＝７・１１・１３は連続する３つの素数の積になっている不思議な数である．この１００１を繰り返して使うと，１０進法で７の倍数，１３の倍数を判定できる．

　すなわち，整数ａがあったとき，１００１をどんどん引いていけば最終的には１０００以下の整数ｂになる．この整数ｂが７の倍数，１３の倍数のとき，整数ａも７の倍数，１３の倍数である．したがって，３桁の整数が７の倍数，１３の倍数であることが判定できればよいことになる．

　　Ｐ＝ａ3・１０^2＋ａ2・１０＋ａ1

において，

　　Ｐ＝２ａ3＋３ａ2＋ａ3　　　（ｍｏｄ７）

　　Ｐ＝ａ3−ａ2＋ａ3　　　　　（ｍｏｄ１１）

　　Ｐ＝−４ａ3−３ａ2＋ａ3　　（ｍｏｄ１３）

［７］３桁の数が７の倍数であるためには２ａ3＋３ａ2＋ａ3が７の倍数になることが必要十分である．

［８］３桁の数が１３の倍数であるためには−４ａ3−３ａ2＋ａ3が１３の倍数になることが必要十分である．

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