レイリーの定理（ヴィノグラードフの定理）とは「α，βを１／α＋１／β＝１を満たす無理数，［］をガウス記号とするとき，２つの数列｛ａn｝＝｛［ｎα］｝，｛ｂn｝＝｛［ｎβ］｝は共通項がなく，併せるとすべての整数１，２，３，・・・を与える．」というものです．

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【１】ヴィノグラードフの定理の証明

　逆にいうと，［αｘ］と［βｙ］を合わせると自然数全体が重複なしに表されるものとする．それはα，βは無理数で１／α＋１／β＝１が成り立つとき，そのときに限ることを証明してみましょう．

［１］条件の必要性

　［αｘ］≦Ｎとなるようなｘの個数は，Ｎ／α＋λ　　（０≦λ≦Ｃ）

　［βｙ］≦Ｎとなるようなｙの個数は，Ｎ／β＋μ　　（０≦μ≦Ｄ）

という形に表される．ただし，Ｃ，ＤはとものＮに無関係な定数である．

　Ｎ／α＋λ＋Ｎ／β＋μ＝Ｎの両辺をＮで割ってＮ→∞とすれば，

　　１／α＋１／β＝１

が得られる．もし，αが有理数α＝ａ／ｂ　　（ａ＞ｂ＞０）と書けたとすると，１／α＋１／β＝１より，［αｂ］＝［β（ａ−ｂ）］が出てくる．

［２］条件の十分性

　条件が満足されていると仮定する．ｃを正の整数として，ｘ≧ｃ／α，ｙ≧ｃ／βを成り立たせる最小の整数ｘ，ｙをそれぞれ

　　ｘ0＝ｃ／α＋ξ，ｙ0＝ｃ／β＋η　　（０＜ξ，η＜１）

とおく．ｘ＞ｘ0→［αｘ］＞ｃ，ｙ＞ｙ0→［αｘ］＞ｃ．また，αξ，βηは無理数である．

　ｘ0＋ｙ0＝ｃ＋η＋ξであるからξ＋η＝１．したがって，αξ／α＋βη／β＝１である．ゆえにαξとβηのうちの一方，そして一方のみが１より小さい．ゆえに［αξ］と［βη］のうちの一方，そして一方のみがｃに等しい．

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