【１】ガウスの円問題

　原点を中心とした半径ｒの円の内部（境界を含む）にある整数点の個数をＲ（ｒ）で表す．

　　Ｒ（１０）＝３１７　　　　　　　Ｒ（１００）＝３１４１７

　　Ｒ（２０）＝１２５７　　　　　　Ｒ（２００）＝１２５６２７

　　Ｒ（３０）＝２８２１　　　　　　Ｒ（３００）＝２８２６９７

　Ｒ（ｒ）は円の面積の推定値を与える．

　　ｒ　　　Ｒ（ｒ）／ｒ^2　　　　　ｒ　　　Ｒ（ｒ）／ｒ^2

　　１０　　　３．１７　　　　　　　１００　　　３．１４１７

　　２０　　　３．１４２５　　　　　２００　　　３．１４０７２５

　　３０　　　３．１３４　　　　　　３００　　　３．１４１０７

　ガウスは

　　｜Ｒ（ｒ）−πｒ^2｜＜ｃｒ

を示したが，

　　｜Ｒ（ｒ）−πｒ^2｜＜ｃｒ^k

となるｋの最小値を求める問題に一般化される．

　シェルピンスキーはｋ≦２／３を証明し，ガウスのｋ＝１を大きく改善した．ヴィノグラードフはｋ≦３４／５３，１９６３年に陳景潤はｋ≦２４／３７を，１９９０年にハクスリーはｋ≦４６／７３を得たが，シェルピンスキーの成果からほんのわずかしか進んでいない．最近，ハクスリーは４６／７３を１３１／２０８に改良している．

　下の値は１９１５年，ハーディとランダウが与えたｋ＝１／２と予想されている．

　　Ｒ（ｒ）＝πｒ^2＋Ｏ（ｒ^1/2）

　同じ問題を３次元球についても考えることができる．→コラム「平面上の格子点」参照．標準単体，超立方体，正軸体などについての格子点問題は，コラム「スターリングの公式の図形的証明？」（その７−９）参照．

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【２】ディリクレの約数問題

　ディリクレの約数問題とは，ｄ（ｎ）を約数関数とするとき，

　　Σｄ（ｎ）＝ｘｌｎｘ＋（２γ−１）ｘ＋Δ（ｘ）

における誤差Δ（ｘ）を評価せよという，直角双曲線の格子点問題である．

　ハクスリーはディリクレの約数問題においても指数を１３１／４１６に改良している．（ガウスの円問題の誤差評価も半径√ｘの円内格子点とすれば１３１／４１６になる．）最良評価はｋ＝１／４と予想されている．

　　Σｄ（ｎ）＝ｘｌｎｘ＋（２γ−１）ｘ＋Ｏ（ｘ^1/4）

　円問題と約数問題は類似の問題であって，リーマン予想などと共にほぼ並行に扱われてきたが，リーマン予想との関連は未知である．いずれも解決の兆しは未だ見えない．解決の目途は皆目立たぬ状況なのである．

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