数え上げは数学に限らずいろいろな分野に現れるが，整数点を数えれば面積がだいたいわかるというのが離散体積の問題である．とくに，ピックの公式は一般次元の凸多面体の組み合わせ論の展開に強い影響を及ぼした．

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【１】ピックの公式とリーブの公式

　ピックの公式（１８９９年）とは，任意の格子多角形の面積が以下の式で表されるというものである．

　　Ａ＝Ｉ＋Ｂ／２−１

　　　Ａ：格子多角形の面積

　　　Ｉ：内部の点の個数

　　　Ｂ：境界線上の点の個数

　すなわち，格子点平面の折れ線で囲まれた面積は（凸であれ凹であれ）格子点の数で表せるという「格子の幾何学」の美しい公式である．ピックは，ミンコフスキーの格子点定理「平面（ｎ次元空間）上の任意の単位格子において，１つの格子点を中心として１辺の長さが２の正方形（面積４の平行四辺形，面積２^nの中心対称な凸体）を任意の向きにおいてみると，内部あるいは境界上にもうひとつの格子点が必ず存在する．」を用いて，彼の興味深い定理を証明した．

　ところで，ピックの定理を一般化して，３次元格子上に頂点をもつ多面体の体積公式を作ることができるだろうか？　実は，３次元の任意の格子多面体に対しては内部や境界面上の点の個数から体積を求める式はないことが証明されている（リーブ，１９５７）．

　凸格子点多面体に限ると，すべての凸格子点多面体に対して成り立つ公式は存在するのだが，それでも非常に複雑なものになるという．→コラム「ピックの公式の拡張」参照

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【２】リーブの四面体

　平面上の格子三角形で，その内部および境界に頂点以外の格子点を含まないとき，その格子三角形（基本三角形）の面積は１／２である．これは平面上の項三角形の顕著な特質であり，これを用いてピックの定理を証明することができる．しかし，空間の四面体ではまったく状況が異なる．

　　体積＝内部の格子点数＋面上の格子点数／２−辺上の格子点数／４−１

が任意の格子多面体に対して成り立つならば話は簡単なのだが，そうは問屋が卸さないのである．３次元の任意の格子多面体に対しては内部や境界面上の点の個数から体積を求める式はないという例をあげよう．

　　体積＝内部の格子点数＋面上の格子点数／２−辺上の格子点数／４−１

が成立しない反例をあげると，４点（０，０，０），（１，０，０），（０，１，０），（１，１，ｚ）を頂点とする三角錐（体積ｚ／６）では，

　　内部の格子点数＝０

　　面上の格子点数＝４

　　辺上の格子点数＝４

より

　　内部の格子点数＋面上の格子点数／２−辺上の格子点数／４−１＝０

　この四面体では，

　　内部の格子点数＝０

　　面上の格子点数＝４

　　辺上の格子点数＝４

を変化させることなしに，ｚとともに体積をいくらでも大きくすることができる．

　リーブの四面体はリーブがＲ^3において，ピックの定理が成り立たないことを示すために用いた物であるが，リーブの四面体の離散体積は

　　Ｌ（ｔ）＝（ｚ／６）ｔ^3＋ｔ^2＋（２−ｚ／６）ｔ＋１

で与えられる．

　　［参］ベック，ロビンズ「離散体積計算による組合せ数学入門」シュプリンガー・ジャパン

［補］４点（０，０，０），（１，０，０），（０，１，０），（０，０，１）を頂点とする基本三角錐の体積は１／６，４点（０，０，０），（１，１，０），（１，０，１），（０，１，１）を頂点とする基本三角錐の体積は１／３，４点（０，０，０），（１，１，０），（１，０，１），（０，１，ｎ）を頂点とする基本三角錐の体積は（ｎ＋１）／６．体積がいくらでも大きいような基本四面体が存在するのである．

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【３】雑感（２次元の特殊性）

［定理］正ｎ角形が半径１の円に内接している．ひとつの頂点からでるすべての辺と対角線の長さの積は頂点数に等しい．

　　Π(1,n-1)ｄj＝ｖ

のほかにも，対角線の長さの平方の逆数の和公式

　　Σ(1,n-1)１／ｄj^2＝（ｖ^2−１）／１２

が成立する．

　これらの公式は２次元の場合のみで成立するが，任意の次元で通用する公式としては，対角線の長さの平方の和公式

　　Σ(1,n(n-1)/2)ｄj^2＝ｖ^2

がある．すなわち，

［定理］単位円に内接する正多角形の対角線の長さの平方和は頂点数の２乗に等しい．単位球に内接する正多面体の対角線の長さの平方和は頂点数の２乗に等しい．ｎ次元単位球に内接する正多胞体の対角線の長さの平方和は頂点数の２乗に等しい．

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