ｎ番目の調和数を

　　Ｈn＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ

と定義すると，Ｈ1=1,Ｈ2=3/2,Ｈ3=11/6,･･･,Ｈ∞=∞となります．

　（その３４）の

　　ＳＳ＝ｎ２^(n-3)・Σ（ｎ，ｋ）／ｋ

の非整除性の証明は，結局

（問）ｎ＞１ならば，Ｈn は整数にはならないことを示せ．

の証明とほとんど類似のものとなった．ｎが素数ならもちろん整数でない．合成数でも奇数の素因子があれば分母に残る．これはおおざっぱですが，これを精密化すれば完全な証明になりそうです．

　念のため，非整除性の数値計算を阪本ひろむ氏にお願いしたところ，以下のような回答が届きました．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　ｆ（ｎ）＝ｎ２^(n-3)・Σ（ｎ，ｋ）／ｋ

とおく．

　　ｆ（１）＝０．２５，ｆ（２）＝２．５

　　ｆ（３）＝１４．５，ｆ（４）＝６８．６６６７

はよいとして，問題はｆ（５）以降である．

　　nＣ1＋nＣ2／２＋nＣ3／３＋・・・＋nＣn／ｎ＞（２^(n+1)−１）／（ｎ＋１）−１より，ｆ（ｎ）はほぼ２^2(n-1)のオーダーとなり，ｎ→∞のとき発散する．それでもinderteminate not integerとならずに，１００００＞ｎ≧１ではすべて非整数と判定された．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　（その３３）ではウォルステンホルム素数を紹介したので，フェルマー・ワイルス定理と関係するヴィーフェリッヒ素数と正則素数を掲げておきたい．

［１］ヴィーフェリッヒ素数

　フェルマーの小定理より（２^(p-1)−１）／ｐは整数となるが，非常に稀にこの整数がｐの倍数になることがある．そのとき，ｐをヴィーフェリッヒ素数という．ヴィーフェリッヒ素数はｐ＝１０９３，３５１１が知られている．

　なお，（３^(p-1)−１）／ｐが整数となるｐとしてｐ＝１１，１００６００３が知られている．

［補］ヴィーフェリッヒの定理

　フェルマー方程式ｘ^p＋ｙ^p＝ｚ^pが非自明解をもつためには，ｐはヴィーフェリッヒ素数であることが必要である．

　　（２^(p-1)−１）／ｐ＝０　　　（ｍｏｄ　ｐ）･･･Wieferich判定基準

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［２］正則素数

　正則素数ｐはＢp-3までのベルヌーイ数Ｂkの分子を割り切ることのできない素数として定義されていて，クンマーの定理によって正則素数であるすべてのｎに対してフェルマー予想が成立すること，たとえば，１００以下の非正則素数は３７，５９，６７ですべてですから，この３つの数以外では１００までのｎに対してフェルマー予想が正しいことが証明されたことになります．非正則素数は無限に多く存在し，６９１も非正則素数のひとつです．そして，クンマーの定理を精密化したもの（詳しく正確にいったもの）は岩澤理論と呼ばれています．

　また，ｘ以下の非正則素数の数をＩ（ｘ）と記すと

　　Ｉ（ｘ）／π（ｘ）〜1-exp(-1/2)＝0.39346･･･

正則素数の密度はexp(-1/2)．正則素数が無限個あることはいまだ証明されていない．一方，イェンゼンは非正則素数が無限個あることを証明した．

　マッキントッシュはベルヌーイ数Ｂp-3の分子を割り切る素数はウォルステンホルム素数であることを示した．ウォルステンホルム素数でいまのところ既知のものは１６８４３と２１２４６７９だけで，ｐ＝１６８４３，２１２４６７９はＢp-3の分子を割り切るのである．

［補］クンマーの定理

　フェルマー方程式ｘ^p＋ｙ^p＝ｚ^pが非自明解をもつためには，

　　Ｂk＝０　　　（ｍｏｄ　ｐ）･･･Cauchy-Genocci判定基準

　　０＜ｋ＜１／２（ｐ−３），Ｂ1＝０，・・・，Ｂp-3＝０

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝