（その１９）に対して，阪本ひろむ氏より以下のような疑念が寄せられた．

［１］ｎを空間の次元とすると，（ａi，ａj）＝ｄｅｔ（Ａ）^2となるのは，ｎ×ｎのときであり，それ以外では成り立たない（佐武一郎「線型代数学」）

［２］ベクトルａ1，ａ2，・・・，ａnがあるとき，ｄｅｔ（（ａi，ａj））＝０であるための必要十分条件は，ａ1，ａ2，・・・，ａnが一次独立でないということである．このケースではｎ次元空間内にｎ＋１個のベクトルがあるので一次独立ではありえない．つまり行列式＝０が常に成り立つ．

［３］おそらく立方体の射影か何かを考えていると思うが，ひとつのベクトルが一次従属になるからグラム行列式は０となる．再考，問題の見直しを乞う．

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　平行体の面積・体積はグラミアンの平方根に等しくなりますが，座標を使って表せば，ｎ＋１個の点の座標に（１，１，１，・・・，１）を加えて作られる（ｎ＋１）次の行列式の絶対値になります．

　　｜Ｓ｜＝｜１　ｘ1　ｙ1｜　　　｜Ｖ｜＝｜１　ｘ1　ｙ1　ｚ1｜

　　　　　　｜１　ｘ2　ｙ2｜　　　　　　　｜１　ｘ2　ｙ2　ｚ2｜

　　　　　　｜１　ｘ3　ｙ3｜　　　　　　　｜１　ｘ3　ｙ3　ｚ3｜

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜１　ｘ4　ｙ4　ｚ4｜

　原点が含まれるときは，

　　｜Ｓ｜＝｜ｘ1　ｙ1｜　　　｜Ｖ｜＝｜ｘ1　ｙ1　ｚ1｜

　　　　　　｜ｘ2　ｙ2｜　　　　　　　｜ｘ2　ｙ2　ｚ2｜

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ｘ3　ｙ3　ｚ3｜

のように展開されます．

　なお，これらはそれぞれｎ次元単体の体積のｎ！倍になりますから，三角形面積，四面体の体積は，

　　Ｓ’＝Ｓ／２

　　Ｖ’＝Ｖ／６

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　ｄ次元空間内のベクトル配置Ｖ＝｛ｖ1，・・・，ｖn｝に対して，その平行多面体の体積は

　　ｖｏｌ（Ｖ）＝２^d・Σ｜ｄｅｔ（ｖ1，・・・，ｖn）｜

で与えられる．すなわち，（ｎ，ｄ）個の項をもつこの公式は複体にも用いることができる．

　今回の場合，ｎ次元空間内にｎ＋１個のベクトルがあるので，順序を考慮した分割を考えると，（ｎ＋１，ｎ）個の項をもつことになる．

　　（１，２，３，・・・，ｎ−１，ｎ）

　　（１，２，３，・・・，ｎ−１，ｎ＋１）

　　（１，２，３，・・・，ｎ，ｎ＋１）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　（１，２，４，・・・，ｎ，ｎ＋１）

　　（１，３，４，・・・，ｎ，ｎ＋１）

　　（２，３，４，・・・，ｎ，ｎ＋１）

また，置換多面体では切断単体の体積の（ｄ＋１）！倍，正軸体版では２^dｄ！倍が求める体積となる．

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