［定理］正ｎ角形が半径１の円に内接している．ひとつの頂点からでるすべての辺と対角線の長さの積は頂点数に等しい．

　　Π(1,n-1)ｄj＝ｖ

のほかにも，対角線の長さの平方の逆数の和公式

　　Σ(1,n-1)１／ｄj^2＝（ｖ^2−１）／１２

が成立する．

　これらの公式は２次元の場合のみで成立するが，任意の次元で通用する公式としては，対角線の長さの平方の和公式

　　Σ(1,n(n-1)/2)ｄj^2＝ｖ^2

がある．すなわち，

［定理］単位円に内接する正多角形の対角線の長さの平方和は頂点数の２乗に等しい．単位球に内接する正多面体の対角線の長さの平方和は頂点数の２乗に等しい．ｎ次元単位球に内接する正多胞体の対角線の長さの平方和は頂点数の２乗に等しい．

　それでは，任意の次元において，すべての対角線の長さの平方の逆数の和ＳＳはどのようになっているのだろうか？

　辺と対角線のすべての相異なる長さの集合｛Ｌ1，Ｌ2，・・・Ｌn｝に対して，ある頂点におけるＬjの本数をＮj，正多面体の頂点数をＶとすると，

　　ＳＳ＝Ｖ／２×ΣＮj／Ｌj^2

で与えられる．また，外接球の半径をｒとした場合，単位球に換算するための補正項をＫとおくと，Ｋ＝１／ｒ^2として

　　ＳＳ＝１／Ｋ・Ｖ／２×ΣＮj／Ｌj^2

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［１］２次元の場合

　　Σ１／ｄj^2＝ｖ（ｖ^2−１）／２４

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［２］３次元の場合

　　正四面体　：２．２５

　　立方体　　：１４．５

　　正八面体　：６．７５

　　正１２面体：１３７．５

　　正２０面体：３９

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［３］４次元の場合

　　正５胞体　　：４

　　正８胞体　　：６８．６６６７

　　正１６胞体　：１３

　　正２４胞体　：１６７

　　正１２０胞体：１５６３６６

　　正６００胞体：５３９５

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［４］ｎ次元正単体

　　Ｌ1＝√２，Ｎ1＝ｎ

　　Ｖ＝ｎ＋１，Ｋ＝（１＋１／ｎ）

として，

　　ＳＳ＝１／Ｋ・Ｖ／２×ΣＮj／Ｌj^2

を計算すると

　　ＳＳ＝ｎ^2／４・・・偶数次元のとき，整数

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［５］ｎ次元超立方体

　　Ｌ1＝２，Ｎ1＝ｎ

　　Ｌ2＝２√２，Ｎ2＝ｎ（ｎ−１）／２

　　Ｌ3＝２√３，Ｎ3＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／６

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　Ｌn＝２√ｎ，Ｎn＝１

　　Ｖ＝２^n，Ｋ＝１／ｎ

　　ＳＳ＝ｎ２^(n-3)（nＣ1＋nＣ2／２＋nＣ3／３＋・・・＋nＣn／ｎ）

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［６］ｎ次元正軸体

　　Ｌ1＝√２，Ｎ1＝２（ｎ−１）

　　Ｌ2＝２，Ｎ2＝１

　　Ｖ＝２ｎ，Ｋ＝１

　　ＳＳ＝ｎ（ｎ−３／４）・・・ｎが４の倍数のとき整数

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［７］雑感

　予想以上に整数になることが多いが，ｎ次元超立方体における結果

　　ＳＳ＝ｎ２^(n-3)（nＣ1＋nＣ2／２＋nＣ3／３＋・・・＋nＣn／ｎ）

が整数にならないことは証明できるだろうか？

　なお，

　　ＳＳ≦ｖ（ｖ^2−１）／２４　　　（等号は２次元の場合）

は常に成り立ちそうである．

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