［定理］正ｎ角形が半径１の円に内接している．ひとつの頂点からでるすべての辺と対角線の長さの積は頂点数に等しい．

［Ｑ］ｎ個の頂点（Ｐ0，・・・，Ｐn-1）をもつ正多面体が半径１の円に内接しているとき，Ｑ＝Π(1,n-1)｜Ｐ0Ｐj｜の値を求めよという問題になる．

　すなわち，半径１の円に内接する正ｎ角形の一頂点から他のｎ−１個の頂点への距離の積がｎに等しいことは，三角関数で表現すれば

　 ｜Ｐ0Ｐk｜＝２ｓｉｎ（ｋπ／ｎ）

だから，以下の問題を証明するということになる．

　　Ｑ＝Π(1,n-1)｜Ｐ0Ｐj｜＝ｎ

　　Ｒ＝Σ(1,n-1)１／｜Ｐ0Ｐj｜^2＝（ｎ^2−１）／１２

［Ａ］Πｓｉｎｋπ／ｎ＝ｓｉｎπ／ｎ・・・ｓｉｎ（ｎ−１）π／ｎ＝ｎ／２^(n-1)

より，Ｑ＝ｎが示される．

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［１］正弦・余弦の積公式

　和公式ほどよく知られていないが，正弦・余弦の積公式としていろいろな公式が登場してくる．

　　Πｓｉｎｋπ／ｎ＝ｓｉｎπ／ｎ・・・ｓｉｎ（ｎ−１）π／ｎ

　　　　　　　　　　＝ｎ／２^(n-1)

　　Πｓｉｎ（θ＋ｋπ／ｎ）

　＝ｓｉｎ（θ＋π／ｎ）・・・ｓｉｎ（θ＋（ｎ−１）π／ｎ）

　＝ｓｉｎｎθ／２^(n-1)ｓｉｎθ

　ここで，θ→θ−π／２ｎと置き換えれば

　　Πｓｉｎ（θ＋（２ｋ−１）π／ｎ）＝ｃｏｓｎθ／２^(n-1)

θ＝０とおけば

　　Πｓｉｎ（（２ｋ−１）π／ｎ）＝１／２^(n-1)

また，θ＝π／２とおけば

　　Πｃｏｓｋπ／ｎ＝ｓｉｎ（ｎπ／２）／２^(n-1)

などを導き出すことができる．

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［２］対数微分と微分の繰り返し

　サイン関数の積公式

　　Πｓｉｎ（ｘ＋ｋπ／ｎ）＝ｓｉｎｎθ／２^(n-1)ｓｉｎθ

から，対数微分により，コタンジェントの和公式

　　Σｃｏｔ（ｘ＋ｋπ／ｎ）＝ｎｃｏｔ（ｎθ）

さらにこれを微分することによって，サイン関数の平方の逆数の和公式

　　Σ１／ｓｉｎ^2（ｘ＋ｋπ／ｎ）＝ｎ^2／ｓｉｎ^2（ｎθ）

が得られる．

　ｘ→∞とすることによって，

　　Π(1,n-1)ｓｉｎｋπ／ｎ＝ｎ／２^n-1

　　Σ(1,n-1)１／ｓｉｎ^2ｋπ／ｎ＝（ｎ^2−１）／３

が得られる．

　この公式の図形的意味が

　　Ｑ＝Π(1,n-1)｜Ｐ0Ｐj｜＝ｎ

　　Ｒ＝Σ(1,n-1)１／｜Ｐ0Ｐj｜^2＝（ｎ^2−１）／１２

というわけである．

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［３］複素数平面

　複素数平面で表現すれば以下のような証明になります．

　　ζ＝ｅｘｐ（２π／ｎ）

　　Ｑ＝Π(1,n-1)｜１−ζ^k｜＝ｎ

　　Ｒ＝Σ(1,n-1)１／｜１−ζ^k｜^2＝（ｎ^2−１）／１２

　　Πｓｉｎ（ｘ＋ｋπ／ｎ）＝ｓｉｎｎθ／２^(n-1)ｓｉｎθ

も

　　ζ＝ｅｘｐ（π／ｎ）

　　Π（ｚζ^k−ｚ^-1ζ^-ｰk）＝ｉ^(n-1)（ｚ^n−ｚ^-n）

という因数分解公式において，ｚ＝ｅｘｐ（ｉｘ）とおけば得られます．

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