今回のコラムでは切頂立方体の高次元版を求めてみる．
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［１］切頂立方体の計量
もとになる立体の１辺の長さをａ，切稜パラメータをｘ，切頂パラメータをｙとおくと，
(1)２ｐ角形面と４角形面に挟まれる辺の長さは
ｂ＝ａ＋２ｘｃｏｓ（２π／ｐ）−２ｘ−２ｙ
(2)２ｐ角形面と２ｑ角形面に挟まれる辺の長さは
ｃ＝２ｙｃｏｓ（π／ｐ）
(3)４角形面と２ｑ角形面に挟まれる辺の長さは
ｄ＝２ｘｃｏｓ（π／ｐ）
で与えられます．
また，正多面体のある頂点から隣接する頂点までの距離のどのくらいを切稜，切頂するのか，その切稜率をｓ，切頂率をｔとおくと
ｓａ＝ｘ，ｔａ＝２ｘ＋ｙ （０≦ｓ≦０．５，０≦ｔ≦１）
ですから
ｘ＝ｓａ，ｙ＝（ｔ−２ｓ）ａ
切頂型多面体では，ｘ＝０（ｓ＝０）とおいて
ｂ＝ａ−２ｙ
ｃ＝２ｙｃｏｓ（π／ｐ）
準正多面体では，ｂ＝ｃより
１−２ｔ＝２ｔｃｏｓ（π／ｐ）
ｔ＝１／（２＋２ｃｏｓ（π／ｐ））
したがって，切頂立方体ではｐ＝４とおいて
ｔ＝１／（２＋√２）
となることがわかります．
ここで，もとの正方形面までの距離を１とするため，ｘ＝ｓａ，ｙ＝（ｔ−２ｓ）ａにおいて，ａ＝２とおくと
ｙ＝２／（２＋√２）＝２−√２
正三角形面は（１−ｙ，１，１）の巡回置換で与えられるから，その中心は（１−ｙ／３，１−ｙ／３，１−ｙ／３），正三角形面までの距離は
√３（１−ｙ／３）＝（１＋√２）／√３
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［２］切頂立方体の高次元版
３次元の場合，ｘ≧ｙ≧ｚ≧０なるｘ＝ｙ平面上の点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）が与えられたとき，ずべての稜線の長さが等しくなるのは，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）からｙ＝ｚ平面，ｚ＝０平面までの距離は等しい．と
（ｙ−ｚ）／√２＝ｚ
→ ｙ＝ｚ＋√２ｚ
ｘ＝ｙ＝ｚ＋√２ｚ
これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＝１上の点であるから代入すると，
３ｚ＋２√２ｚ＝１ → ｚ＝１／（３＋２√２）
また，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）のｚ＝０平面に対する鏡映は（ｘ，ｙ，−ｚ）であるから，辺の長さは２ｚ．
４次元の場合は，ｘ−ｙ平面上の点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）からｙ＝ｚ平面，ｚ＝ｗ平面，ｗ＝０平面までの距離を等しくとると
（ｙ−ｚ）／√２＝（ｚ−ｗ）／√２＝ｗ
→ ｚ＝ｗ＋√２ｗ
ｙ＝ｚ＋√２ｗ＝ｗ＋２√２ｗ
ｘ＝ｙ＝ｗ＋２√２ｗ
これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１上の点であるから代入すると，
４ｗ＋５√２ｗ＝１ → ｗ＝１／（４＋５√２）
また，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）のｗ＝０平面に対する鏡映は（ｘ，ｙ，ｚ，−ｗ）であるから，辺の長さは２ｗ．
一般には，Ｓ＝（ｎ＋１）（ｎ−２）／２として
→ ｎω＋Ｓ√２ω＝１，ω＝１／（ｎ＋Ｓ√２）
ｘ＝（１＋（ｎ−２）√２）ω，ｙ＝（１＋（ｎ−２）√２）ω，ｚ＝（１＋（ｎ−３）√２）ω，・・・，ｗ＝ω，辺の長さは２ω．
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［３］中心から切頂面までの距離
切頂切稜面と中心座標
Ｐn（０，・・・，０）
の距離を求める．
Ｐ0（１，０，０，・・・，０）＝ＰnＰ0
Ｐ1（１／２，１／２，０，・・・，０）＝ＰnＰ1
Ｐ2（１／３，１／３，１／３，・・・，０）＝ＰnＰ2
Ｐn-1（１／ｎ，１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）＝ＰnＰn-1
とおくと，切頂面はＰ0Ｐnに垂直で，点
Ｑ＝（ｘ，ｙ，ｚ，・・・）＝（（１＋（ｎ−２）√２）ω，（１＋（ｎ−２）√２）ω，・・・，ω）
を通る．
ファセットを定めている不等式は，
ａ・ｘ＝ｃ
で与えられる．一般に，超平面ａ・ｘ＝ｃと点ｘ0の距離は
｜ａ・ｘ0−ｃ｜／‖ａ‖
とくに，原点からファセットまでの距離は｜ｃ｜／‖ａ‖となる．
ＰnＰ0に垂直なｎ次元超平面が点Ｑを通るから，
ａ0＝Ｐ0
ｑ＝Ｑ
とすると，この超平面をａ・（ｘ−ｑ）＝０，ａ・ｘ＝ａ・ｑ＝ｃで表すと
ｃ0＝ｘ，ｈ0＝｜ｃ0｜／‖ａ0‖＝ｘ
これは
［ａ］頂点面までの距離
切頂されていなければ頂点は（１，０，・・・，０）であるが，切頂されているので，中心は（ｘ，０，・・・，０）．
［ｂ］胞心面までの距離
胞心は（１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）→１／√ｎ
と一致する．
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［４］まとめ
ｎ＝３のとき，
（１／√ｎ）／ｘ＝（１＋√２）／√３
となって，切頂立方体の計量と一致する．
なお，立方八面体の高次元版を求めるにはｘ＝ｙかつｚ＝０，立方体の高次元版を求めるにはｘ＝ｙ＝ｚとおけばよいことがわかるだろう．
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