（その１７）において，大菱形立方八面体の高次元版を求めたが，今回のコラムでは小菱形立方八面体の高次元版を求めてみたい．

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［１］小菱形立方八面体の計量

　もとになる立体の１辺の長さをａ，切稜パラメータをｘ，切頂パラメータをｙとおくと，

(1)２ｐ角形面と４角形面に挟まれる辺の長さは

　　ｂ＝ａ＋２ｘｃｏｓ（２π／ｐ）−２ｘ−２ｙ

(2)２ｐ角形面と２ｑ角形面に挟まれる辺の長さは

　　ｃ＝２ｙｃｏｓ（π／ｐ）

(3)４角形面と２ｑ角形面に挟まれる辺の長さは

　　ｄ＝２ｘｃｏｓ（π／ｐ）

で与えられます．

　また，正多面体のある頂点から隣接する頂点までの距離のどのくらいを切稜，切頂するのか，その切稜率をｓ，切頂率をｔとおくと

　　ｓａ＝ｘ，ｔａ＝２ｘ＋ｙ　　　（０≦ｓ≦０．５，０≦ｔ≦１）

ですから

　　ｘ＝ｓａ，ｙ＝（ｔ−２ｓ）ａ

　切稜優位型（根本で切頂する場合）では，ｙ＝０ですから

　　ｂ＝ａ＋２ｘｃｏｓ（２π／ｐ）−２ｘ

　　ｄ＝２ｘｃｏｓ（π／ｐ）

　準正多面体では，ｂ＝ｄより

　　１＋２ｓｃｏｓ（２π／ｐ）−２ｓ＝２ｓｃｏｓ（π／ｐ）

　　ｓ＝１／（２−２ｃｏｓ（２π／ｐ）＋２ｃｏｓ（π／ｐ））

したがって，小菱形立方八面体ではｐ＝４とおいて

　　ｓ＝１／（２＋√２），ｔ＝２ｓ

となることがわかります．

　ここで，もとの正方形面までの距離を１とするため，ｘ＝ｓａ，ｙ＝（ｔ−２ｓ）ａにおいて，ａ＝２とおくと

　　ｘ＝２／（２＋√２）＝２−√２，ｙ＝０

　正三角形面は（１−ｘ，１−ｘ，１）の巡回置換で与えられるから，その中心は（１−２ｘ／３，１−２ｘ／３，１−２ｘ／３），正三角形面までの距離は

　　√３（１−２ｘ／３）＝（２√２−１）／√３

　同様に正方形面の中心は（０，１−ｘ／２，１−ｘ／２），正方形面までの距離は

　　√２（１−ｘ／２）＝１

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［２］小菱形立方八面体の高次元版

　たとえば，ｎ次元の２^n＋２ｎ面体を得るのに３次元正軸体を切頂する場合，ｘ≧ｙ≧ｚ≧０なる点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）においてｚ＝０，４次元の場合はｘ≧ｙ≧ｚ≧ｗ≧０なる点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）においてｗ＝０としてずべての稜線の長さが等しくなる条件を求めた．

　また，ｎ次元の置換多面体を得るのに，３次元正軸体を切頂切稜する場合，ｘ≧ｙ≧ｚ≧０なる点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）においてｚ≠０，４次元の場合はｘ≧ｙ≧ｚ≧ｗ≧０なる点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）においてｗ≠０としてずべての稜線の長さが等しくなる条件を求めた．すなわち，３次元でｘ≧ｙ≧ｚ＞０，４次元でｘ≧ｙ≧ｚ≧ｗ＞０とすることにによって得られる多面体は２^n＋２ｎ面体ではなく，３^n−１面体になる．このわずかな違いが大きな差を生むことになるのである．

　ここでは小菱形立方八面体の高次元版を得ることを考える．３次元の場合，ｘ≧ｙ≧ｚ＞０なるｙ＝ｚ平面上の点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）が与えられたとき，ずべての稜線の長さが等しくなるのは，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）からｘ＝ｙ平面，ｚ＝０平面までの距離を等しくとると

　　（ｘ−ｙ）／√２＝ｚ

　→　ｙ＝ｚ

　　　ｘ＝ｙ＋√２ｚ

これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＝１上の点であるから代入すると，

　　３ｚ＋√２ｚ＝１　→　ｚ＝１／（３＋√２）

また，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）のｚ＝０平面に対する鏡映は（ｘ，ｙ，−ｚ）であるから，辺の長さは２ｚ．

　４次元の場合は，ｚ＝ｗ平面上の点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｗ＝０平面までの距離を等しくとると

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝ｗ

　→　ｚ＝ｗ

　　　ｙ＝ｚ＋√２ｗ＝ｗ＋√２ｗ

　　　ｘ＝ｙ＋√２ｗ＝ｗ＋２√２ｗ

これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１上の点であるから代入すると，

　　４ｗ＋３√２ｗ＝１　→　ｗ＝１／（４＋３√２）

また，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）のｗ＝０平面に対する鏡映は（ｘ，ｙ，ｚ，−ｗ）であるから，辺の長さは２ｗ．

　一般には，Ｓ＝（ｎ−１）（ｎ−２）／２として

　→　ｎω＋Ｓ√２ω＝１，ω＝１／（ｎ＋Ｓ√２）

　　　ｘ＝（１＋（ｎ−２）√２）ω，ｙ＝（１＋（ｎ−３）√２）ω，ｚ＝（１＋（ｎ−４）√２）ω，・・・，ｗ＝ω，辺の長さは２ω．

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［３］中心から各面までの距離

　切頂切稜面と中心座標

　　Ｐn（０，・・・，０）

の距離を求める．

　　Ｐ0（１，０，０，・・・，０）＝ＰnＰ0

　　Ｐ1（１／２，１／２，０，・・・，０）＝ＰnＰ1

　　Ｐ2（１／３，１／３，１／３，・・・，０）＝ＰnＰ2

　　Ｐn-1（１／ｎ，１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）＝ＰnＰn-1

とおくと，切頂切稜面はＰkＰnに垂直で，点

　　Ｑ＝（ｘ，ｙ，ｚ，・・・）＝（（１＋（ｎ−２）√２）ω，（１＋（ｎ−３）√２）ω，・・・，ω）

を通る．

　ファセットを定めている不等式は，

　　ａ・ｘ＝ｃ

で与えられる．一般に，超平面ａ・ｘ＝ｃと点ｘ0の距離は

　　｜ａ・ｘ0−ｃ｜／‖ａ‖

とくに，原点からファセットまでの距離は｜ｃ｜／‖ａ‖となる．

　ＰnＰ0に垂直なｎ次元超平面が点Ｑを通るから，

　　ａ0＝Ｐ0

　　ｑ＝Ｑ

とすると，この超平面をａ・（ｘ−ｑ）＝０，ａ・ｘ＝ａ・ｑ＝ｃで表すと

　　ｃ0＝ｘ，ｈ0＝｜ｃ0｜／‖ａ0‖＝ｘ

　ＰnＰ1に垂直なｎ次元超平面では

　　ａ1＝Ｐ1

　　ｃ1＝（ｘ＋ｙ）／２，ｈ1＝｜ｃ1｜／‖ａ1‖＝（ｘ＋ｙ）／√２

　ＰnＰn-1に垂直なｎ次元超平面では

　　ａn-1＝Ｐn-1

　　ｃn-1＝（ｘ＋ｙ＋ｚ＋・・・）／ｎ，ｈn-1＝｜ｃn-1｜／‖ａn-1‖＝（ｘ＋ｙ＋ｚ＋・・・）／√ｎ

　これらは

［ａ］頂点面までの距離

　切頂されていなければ頂点は（１，０，・・・，０）であるが，切頂されているので，中心は（ｘ，０，・・・，０）．

［ｂ］辺心面までの距離

　切稜されていなければ辺心は（１／２，１／２，０，・・・，０）であるが，切稜されているので，中心は

　　（（ｘ＋ｙ）／２，（ｘ＋ｙ）／２，０，・・・，０）．

［ｃ］胞心面までの距離

　胞心は（１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）→１／√ｎ

と一致する．

　一般に，

　　‖ａk‖^2＝Σ（１／（ｋ＋１））^2＝１／（ｋ＋１）

　　ｈk＝Σ（１＋（ｎ−１−ｉ）√２）ω／√（ｋ＋１）＝√（ｋ＋１）ω（１＋（２ｎ−ｋ−４）／√２）

　　Ｈk＝ｈk／２ω＝√（ｋ＋１）（１＋（２ｎ−ｋ−４）／√２）／２

　ここで，

　　Ｈk＝ｈk／２ω＝√（ｋ＋１）（１＋（２ｎ−ｋ−４）／√２）／２

　　ｎ＝３，ｋ＝０のとき，Ｈ0＝（１＋２／√２）／２

　　ｎ＝３，ｋ＝１のとき，Ｈ1＝√２・（１＋１／√２）／２

　　Ｈ1／Ｈ0＝√２・（１＋√２）／（２＋√２）＝１

また，ｎ＝３のとき，

　　（１／√ｎ）／ｘ＝（２√２−１）／√３

となって，小菱形立方八面体の計量と一致する．

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