辺の数は簡単でしたが，面の数は意外と厄介です（三角形ばかりの場合だと簡単かもしれませんが・・・）．そこで，ベクトルの内積を使って面の形を考え併せて求めることにしました．（その９８）で遣り残した３次元，４次元の場合を考えてみましょう．

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［１］ｎ＝３のとき

　第１象限にある頂点Ｐ（ｘ，ｘ／２，０）を考えてみます．鏡映対称変換によって，第１象限内に移る点はその置換３！個（＝正六角形）ありますが，直接，点Ｐ（ｘ，ｘ／２，０）と結ばれる第１象限内の点はＰ1（ｘ／２，ｘ，０），Ｐ2（ｘ，０，ｘ／２）の２点です．

　また，頂点Ｐ（ｘ，ｘ／２，０）の周囲には４点（ｘ，±ｘ／２，０），（ｘ，０，±ｘ／２）からなる正方形ができますが，直接，点Ｐ（ｘ，ｘ／２，０）と結ばれる第１象限以外の点はＰ3（ｘ，０，−ｘ／２）の１点です．

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ2：　ｃｏｓθ＝−１／２　　（正六角形）

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ3：　ｃｏｓθ＝−１／２　　（正六角形）

　Ｐ2−Ｐ−Ｐ3：　ｃｏｓθ＝０　　　　　（正方形）

　これより，

　　ｆ2＝（２／６＋１／４）・ｆ0＝１４

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［２］ｎ＝４のとき

　頂点Ｐ（ｘ，ｘ，０，０）の置換は４！／２！２！＝６個（＝正八面体）ありますが，直接，点Ｐ（ｘ，ｘ，０，０）と結ばれる第１象限内の点はＰ1（ｘ，０，ｘ，０），Ｐ2（ｘ，０，０，ｘ），Ｐ3（０，ｘ，ｘ，０），Ｐ4（０，ｘ，０，ｘ）の４点です．

　また，頂点Ｐ（ｘ，ｘ，０，０）の周囲には６点（ｘ，±ｘ，０，０），（ｘ，０，±ｘ，０），（ｘ，０，０，±ｘ）からなる正八面体ができますが，直接，点Ｐ（ｘ，ｘ，０，０）と結ばれる第１象限以外の点はＰ5（ｘ，０，−ｘ，０），Ｐ6（ｘ，０，０，−ｘ）の２点です．

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ2：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ3：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ4：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ5：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ6：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ2−Ｐ−Ｐ3：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ2−Ｐ−Ｐ4：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ2−Ｐ−Ｐ5：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ2−Ｐ−Ｐ6：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ3−Ｐ−Ｐ4：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ3−Ｐ−Ｐ5：　ｃｏｓθ＝−１／２

　Ｐ3−Ｐ−Ｐ6：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ4−Ｐ−Ｐ5：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ4−Ｐ−Ｐ6：　ｃｏｓθ＝−１／２

　Ｐ5−Ｐ−Ｐ6：　ｃｏｓθ＝１／２

　しかし，

　　ｆ2＝（７／３）・ｆ0＝５６≠９６

　　ｆ2＝（７／３＋２／６）・ｆ0＝６４≠９６

　　ｆ2＝（７／３＋２／６＋６／４）・ｆ0＝１００≠９６

となって，正解は得られない．（その９８）で行った計算自体が誤りだったということになる．

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