コラム「ｎ次元の立方体と直角三角錐（その７５）」では

［１］置換多面体：　Ｎk^(n)＝n+1Ｃk+1

［２］正軸体版　：　Ｎk^(n)＝２^(k+1)nＣk+1

として，面数公式は

　　ｆk^(n)＝Σ(j=0~k)Ｎj^(n)ｆ(k-j)^(n-1ｰj)　　　（ｋ≦ｎ−２）

ときれいな形にまとまった．また，ｆn^(n)＝１とすれば（ｋ≦ｎ−１）とすることもできる．先人達も苦心した難題はこれで完結．

　次はこれらの体積公式を漸化式の形で求めてみたいとして始まったのが，本シリーズである．

［１］置換多面体の体積公式

　　Ｎk^(n)＝n+1Ｃk+1

　　Ｈk＝ｈkＳ／√２＝｛（ｋ＋１）（ｎ−ｋ）（ｎ＋１）／８｝^1/2

　　Ｖn＝Ｎ0Ｖn-1Ｈ0／ｎ＋Ｎ1Ｖn-2Ｈ1／ｎ＋・・・＋Ｎn-2Ｖn-2Ｈ1／ｎ＋Ｎn-1Ｖn-1Ｈ0／ｎ

［２］正軸体版の体積公式

　　Ｎk^(n)＝２^(k+1)nＣk+1

　　Ｈk＝ｈk／２ω＝｛（ｋ＋１）／８｝^1/2（２ｎ−ｋ−２＋√２）

　　Λn＝Ｎ0Λn-1Ｈ0／ｎ＋Ｎ1Λn-2Ｈ1／ｎ＋・・・＋Ｎn-2Ｖn-2Ｈn-2／ｎ＋Ｎn-1Ｖn-1Ｈn-1／ｎ

という結果が得られたが，気にかかる点はまだまだある．

　たとえば，正軸体版の場合，ｎが奇数のときの中央項はｎ−［（ｎ＋１）／２］次置換多面体柱柱と正軸体版柱柱になること．そして，そもそも，正軸体版になぜ置換多面体が登場するのか等々．

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【１】正軸体版における中央項の割り当て

　５次元正軸体版は１０個の４次元正軸体版＋４０個の３次元正軸体版柱＋８０個の（（２次元正軸体柱）柱＝八角柱柱，（２次元置換多面体柱）柱＝六角柱柱）＋８０個の３次元置換多面体柱＋３２個の４次元置換多面体となる．

　３次元正軸体版である大菱形立方八面体は８枚の八角形と６枚の六角形と１２枚の正方形からなるが，８枚の正八角形＋１２枚の正方形＋８枚の六角形，すなわち，２次元正軸体版＋（１次元正軸体版柱＝正方形＝１次元置換多面体柱）＋２次元置換多面体であるから問題を生じなかったでのあるが，５次元のときの中央項８０個が八角柱柱ｘ個と六角柱柱ｙ個にどのように割り当てられるのだろうか？　置換多面体の場合とは違って，一般にｎが５以上の奇数のとき，中央項の割り当てが不明である．

　この多面体は正軸体β5あるいは同じことではあるが超立方体γ5を切頂・切稜することによって構成することができる．したがって，超立方体γ5を切頂・切稜すると，３２個の４次元置換多面体＋８０個の３次元置換多面体柱＋８０個の（（２次元置換多面体柱）柱＝六角柱柱，（２次元正軸体柱）柱＝八角柱柱）＋４０個の３次元正軸体版柱＋１０個の４次元正軸体版となる．

　（その１２）では，中央項８０個が八角柱柱４０個と六角柱柱４０個に割り当てられるものと考えたが，そうはならないようである．

　ところで，超立方体の面数公式

　　Ｎk^(n)＝２^(n-k)nＣk

の双対をとると，正軸体の面数公式

　　Ｎk^(n)＝２^(k+1)nＣk+1

が求められる．正軸体の面数公式Ｎkは双対多面体である超立方体のＮn-k-1となるわけである．

　また，超立方体γn-1をその空間に垂直に動かすとγnができるから，漸化式

　　Ｎk^(n)＝２Ｎk^(n-1)＋Ｎk-1^(n-1)

が成立する．したがって，正軸体では

　　Ｎk^(n)＝２Ｎk-1^(n-1)＋Ｎk^(n-1)

が成立する．

　このことから，５次元正軸体版では，中央項８０個が八角柱柱４８個と六角柱柱３２個に分配されると考えることができるだろう．

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【２】分配法則つき正軸体版の体積公式

　　Ｎk^(n)＝２^(k+1)nＣk+1

とおくと，正軸体版の体積公式は

　　Λn＝Ｎ0Λn-1Ｈ0／ｎ＋Ｎ1Λn-2Ｈ1／ｎ＋・・・＋Ｎn-2Ｖn-2Ｈn-2／ｎ＋Ｎn-1Ｖn-1Ｈn-1／ｎ

　ただし，ｎが奇数のとき，中央項は

　　ｍ＝［（ｎ＋１）／２］

　　（２Ｎm-1^(n-1)Λn-m＋Ｎm^(n-1)Ｖn-m）Ｈm-1／ｎ

すなわち，ｎ−ｍ次置換多面体柱柱と正軸体版柱柱になる．

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