１次元置換多面体は線分，２次元置換多面体は正六角形，３次元置換多面体は切頂八面体である．辺の長さを１に規格化すると

　　Ｖ1＝１，Ｖ2＝３√３／２

　　Ｖ3＝１／２（４／３）^3／（√２／３）^3＝１／２（４／√２）^3＝８√２

　漸化式で，８枚の正六角形と６枚の正方形からなる切頂八面体の体積を求めると

　　Ｖ3＝（４Ｖ2Ｈ0＋６Ｖ1Ｈ1＋４Ｖ2Ｈ0）／３＝８√２

となって正しい解が得られた．次は正軸体版の場合である．

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［１］鏡映対称変換

　３次元の場合，ｘ≧ｙ≧ｚ＞０なる点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）が与えられたとき，ずべての稜線の長さが等しくなるのは，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝０平面までの距離を等しくとると

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝ｚ

　→　ｙ＝ｚ＋√２ｚ

　　　ｘ＝ｙ＋√２ｚ＝ｚ＋２√２ｚ

これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＝１上の点であるから代入すると，

　　３ｚ＋３√２ｚ＝１　→　ｚ＝１／（３＋３√２）

また，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）のｚ＝０平面に対する鏡映は（ｘ，ｙ，−ｚ）であるから，辺の長さは２ｚ．

　４次元の場合は，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝ｗ平面，ｗ＝０平面までの距離を等しくとると

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝（ｚ−ｗ）／√２＝ｗ

　→　ｚ＝ｗ＋√２ｗ

　　　ｙ＝ｚ＋√２ｗ＝ｗ＋２√２ｗ

　　　ｘ＝ｙ＋√２ｗ＝ｗ＋３√２ｗ

これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１上の点であるから代入すると，

　　４ｗ＋６√２ｗ＝１　→　ｗ＝１／（４＋６√２）

また，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）のｗ＝０平面に対する鏡映は（ｘ，ｙ，ｚ，−ｗ）であるから，辺の長さは２ｗ

　一般には，Ｓ＝ｎ（ｎ−１）／２として

　→　ｎω＋Ｓ√２ω＝１，ω＝１／（ｎ＋Ｓ√２）

　　　ｘ＝（１＋（ｎ−１）√２）ω，ｙ＝（１＋（ｎ−２）√２）ω，ｚ＝（１＋（ｎ−３）√２）ω，・・・，ｗ＝ω，辺の長さは２ω．

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［２］中心から各面までの距離

　切頂切稜面と中心座標

　　Ｐn（０，・・・，０）

の距離を求める．

　　Ｐ0（１，０，０，・・・，０）＝ＰnＰ0

　　Ｐ1（１／２，１／２，０，・・・，０）＝ＰnＰ1

　　Ｐ2（１／３，１／３，１／３，・・・，０）＝ＰnＰ2

　　Ｐn-1（１／ｎ，１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）＝ＰnＰn-1

とおくと，切頂切稜面はＰkＰnに垂直で，点

　　Ｑ＝（ｘ，ｙ，ｚ，・・・）＝（（１＋（ｎ−１）√２）ω，（１＋（ｎ−２）√２）ω，・・・，ω）

を通る．

　ファセットを定めている不等式は，

　　ａ・ｘ＝ｃ

で与えられる．一般に，超平面ａ・ｘ＝ｃと点ｘ0の距離は

　　｜ａ・ｘ0−ｃ｜／‖ａ‖

とくに，原点からファセットまでの距離は｜ｃ｜／‖ａ‖となる．

　ＰnＰ0に垂直なｎ次元超平面が点Ｑを通るから，

　　ａ0＝Ｐ0

　　ｑ＝Ｑ

とすると，この超平面をａ・（ｘ−ｑ）＝０，ａ・ｘ＝ａ・ｑ＝ｃで表すと

　　ｃ0＝ｘ，ｈ0＝｜ｃ0｜／‖ａ0‖＝ｘ

　ＰnＰ1に垂直なｎ次元超平面では

　　ａ1＝Ｐ1

　　ｃ1＝（ｘ＋ｙ）／２，ｈ1＝｜ｃ1｜／‖ａ1‖＝（ｘ＋ｙ）／√２

　ＰnＰn-1に垂直なｎ次元超平面では

　　ａn-1＝Ｐn-1

　　ｃn-1＝（ｘ＋ｙ＋ｚ＋・・・）／ｎ，ｈn-1＝｜ｃn-1｜／‖ａn-1‖＝（ｘ＋ｙ＋ｚ＋・・・）／√ｎ

　これらは

［ａ］頂点面までの距離

　切頂されていなければ頂点は（１，０，・・・，０）であるが，切頂されているので，中心は（ｘ，０，・・・，０）．

［ｂ］辺心面までの距離

　切稜されていなければ辺心は（１／２，１／２，０，・・・，０）であるが，切稜されているので，中心は

　　（（ｘ＋ｙ）／２，（ｘ＋ｙ）／２，０，・・・，０）．

［ｃ］胞心面までの距離

　胞心は（１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）→１／√ｎ

と一致する．

　一般に，

　　‖ａk‖^2＝Σ（１／（ｋ＋１））^2＝１／（ｋ＋１）

　　ｈk＝Σ（１＋（ｎ−ｉ）√２）ω／√（ｋ＋１）＝√（ｋ＋１）ω（１＋（２ｎ−ｋ−２）／√２）

　　Ｈk＝ｈk／２ω＝√（ｋ＋１）（１＋（２ｎ−ｋ−２）／√２）／２

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［３］大菱形立方八面体の計量

　もとになる立体の１辺の長さをａ，切稜パラメータをｘ，切頂パラメータをｙとおくと，

(1)２ｐ角形面と４角形面に挟まれる辺の長さは

　　ｂ＝ａ＋２ｘｃｏｓ（２π／ｐ）−２ｘ−２ｙ

(2)２ｐ角形面と２ｑ角形面に挟まれる辺の長さは

　　ｃ＝２ｙｃｏｓ（π／ｐ）

(3)４角形面と２ｑ角形面に挟まれる辺の長さは

　　ｄ＝２ｘｃｏｓ（π／ｐ）

で与えられます．

　また，正多面体のある頂点から隣接する頂点までの距離のどのくらいを切稜，切頂するのか，その切稜率をｓ，切頂率をｔとおくと

　　ｓａ＝ｘ，ｔａ＝２ｘ＋ｙ　　　（０≦ｓ≦０．５，０≦ｔ≦１）

ですから

　　ｘ＝ｓａ，ｙ＝（ｔ−２ｓ）ａ

　準正多面体になるための条件は，ｂ＝ｃ＝ｄですから

　　１＋２ｓｃｏｓ（２π／ｐ）−２ｓ−２ｔ＋４ｓ

　＝２（ｔ−２ｓ）ｃｏｓ（π／ｐ）

　＝２ｓｃｏｓ（π／ｐ）

より

　　ｔ−２ｓ＝ｓ　→　ｔ＝３ｓ

　これを代入すると

　　１＋２ｓｃｏｓ（２π／ｐ）−４ｓ＝２ｓｃｏｓ（π／ｐ）

となり，

　　ｓ＝１／（４−２ｃｏｓ（２π／ｐ）＋２ｃｏｓ（π／ｐ））

　したがって，大菱形立方八面体ではｐ＝４とおいて

　　ｓ＝１／（４＋√２），ｔ＝３ｓ

となることがわかります．

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　ここで，正八角形までの距離を１とするため，ｘ＝ｓａ，ｙ＝（ｔ−２ｓ）ａ＝ｓａにおいて，ａ＝２とおくと

　　ｘ＝ｙ＝２／（４＋√２）＝（４−√２）／７

　正六角形面は（１−ｘ−ｙ，１−ｘ，１）の巡回置換で与えられるから，その中心は（１−ｘ，１−ｘ，１−ｘ），正六角形面までの距離は

　　√３（１−ｘ）＝√３（３＋√２）／７

　同様に正方形面の中心は（０，１−ｘ／２，１−ｘ／２），正六角形面までの距離は

　　√２（１−ｘ／２）＝√２（１０＋√２）／１４

　ここで，

　　Ｈk＝ｈk／２ω＝√（ｋ＋１）（１＋（２ｎ−ｋ−２）／√２）／２

　　ｎ＝３，ｋ＝０のとき，Ｈ0＝（１＋４／√２）／２

　　ｎ＝３，ｋ＝１のとき，Ｈ1＝√２・（１＋３／√２）／２

　　ｎ＝３，ｋ＝２のとき，Ｈ2＝√３・（１＋２／√２）／２

　　Ｈ1／Ｈ0＝√２・（３＋√２）／（４＋√２）＝√２（１０＋√２）／１４

　　Ｈ2／Ｈ0＝√３・（２＋√２）／（４＋√２）＝√３（３＋√２）／７

となって，大菱形立方八面体の計量と一致する．

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［４］正軸体版の体積公式

　原正多胞体の面数公式を

　　Ｎk^(n)＝２^(k+1)nＣk+1

また，規格化した後のｋ次元面までの距離をＨkとする．

　　Ｈk＝ｈk／２ω＝√（ｋ＋１）（１＋（２ｎ−ｋ−２）／√２）／２

　正軸体版の体積公式は

　　Λn＝Ｎ0Λn-1Ｈ0／ｎ＋Ｎ1Λn-2Ｈ1／ｎ＋・・・＋Ｎn-2Ｖn-2Ｈn-2／ｎ＋Ｎn-1Ｖn-1Ｈn-1／ｎ

ｎが奇数のとき，中央項はｎ−［（ｎ＋１）／２］次置換多面体柱柱・・・と正軸体版柱柱・・・になる．

　１次元置換多面体は線分，２次元置換多面体は正六角形，３次元置換多面体は切頂八面体である．辺の長さを１に規格化すると

　　Ｖ1＝１，Ｖ2＝３√３／２

　　Ｖ3＝１／２（４／３）^3／（√２／３）^3＝１／２（４／√２）^3＝８√２

　同様に１次元正軸体版は線分，２次元正軸体版は正八角形，３次元置換多面体は大菱形立方八面体である．辺の長さを１に規格化すると

　　Λ1＝１，Λ2＝２（√２＋１）

　　Ｈ0＝（１＋４／√２）／２＝（２＋４√２）／４

　　Ｈ1＝√２・（１＋３／√２）／２＝√２・（２＋３√２）／４

　　Ｈ2＝√３・（１＋２／√２）／２＝√３・（２＋２√２）／４

　漸化式で，６枚の正八角形と１２枚の正方形と８枚の正六角形からなる大菱形立方八面体の体積を求めると

　　Λ3＝（６Λ2Ｈ0＋１２Λ1Ｈ1＋８Ｖ2Ｈ2）／３＝２２＋１４√２

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