ｎ次元正単体を構成するのに，全体を１次元上げたことが影響しているのだろうか？

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［１］鏡映対称変換

　３次元の場合，全体を１次元あげて４次元正単体の境界多面体

　　Ｖ1（１，０，０，０）

　　Ｖ2（０，１，０，０）

　　Ｖ3（０，０，１，０）

　　Ｖ4（０，０，０，１）

　　ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１

をとるとしよう．

　ｘ≧ｙ≧ｚ≧ｗ≧０なる点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）が与えられたとき，ずべての稜線の長さが等しくなるのは，点Ｐからｗ＝０平面，ｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝ｗ平面までの距離が等しいときである．点Ｐをｎ－１次元境界多面体上の点（ｗ＝０）として，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，０）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝ｗ平面までの距離を等しくとると

　　（ｘ－ｙ）／√２＝（ｙ－ｚ）／√２＝（ｚ－ｗ）／√２

　→　ｘ＝３ｚ，ｙ＝２ｚ，ｚ＝ｚ，ｗ＝０

これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１上の点であるから代入すると，６ｚ＝１

　→　ｘ＝１／２，ｙ＝１／３，ｚ＝１／６，ｗ＝０

一般には，Ｓ＝ｎ（ｎ＋１）／２として

　→　ｘ＝ｎ／Ｓ，ｙ＝（ｎ－１）／Ｓ，ｚ＝（ｎ－２）／ｓ，・・・，ｗ＝０

また，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）のｘ＝ｙ平面に対する鏡映は（ｙ，ｘ，ｚ，ｗ）であるから，辺の長さは√２｜ｘ－ｙ｜＝√２／Ｓ．

　ここでは４次元空間内の距離を求めてはいるが，すべて４次元超平面ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１上の距離なので問題があるとは思えない．問題があるとすれば，中心から各面までの距離であろう．

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［２］中心から各面までの距離

　切頂切稜面と中心座標

　　Ｐn（１／（ｎ＋１），・・・，１／（ｎ＋１））

の距離を求める．

　　Ｐ0（１，０，０，・・・，０）

　　Ｐ1（１／２，１／２，０，・・・，０）

　　Ｐ2（１／３，１／３，１／３，・・・，０）

　　Ｐn-1（１／ｎ，１／ｎ，１／ｎ，・・・，０）　

とおくと，切頂切稜面はＰkＰnに垂直で，点

　　Ｑ＝（ｎ／Ｓ，（ｎ－１）／Ｓ，（ｎ－２）／Ｓ，・・・，０）

を通る．

ＰnＰ0＝（１－１／（ｎ＋１），－１／（ｎ＋１），・・・，－１／（ｎ＋１））

ＰnＰ1＝（１／２－１／（ｎ＋１），１／２－１／（ｎ＋１），－１／（ｎ＋１），・・・，－１／（ｎ＋１））

ＰnＰn-1＝（１／ｎ－１／（ｎ＋１），・・・，１／ｎ－１／（ｎ＋１），－１／（ｎ＋１））

　ファセットを定めている不等式は，

　　ａ・ｘ＝ｃ

で与えられる．一般に，超平面ａ・ｘ＝ｃと点ｘ0の距離は

　　｜ａ・ｘ0－ｃ｜／∥ａ∥

とくに，原点からファセットまでの距離は｜ｃ｜／∥ａ∥となる．

　ＰnＰ0に垂直なｎ次元超平面が点Ｑを通るのだが，原点をＰnに移した方が紛らわしくないので

　　ａ0＝（１－１／（ｎ＋１），－１／（ｎ＋１），・・・，－１／（ｎ＋１））

　　ｑ＝（ｎ／Ｓ－１／（ｎ＋１），（ｎ－１）／Ｓ－１／（ｎ＋１），（ｎ－２）／Ｓ－１／（ｎ＋１），・・・，０－１／（ｎ＋１））

とすると，この超平面をａ・（ｘ－ｑ）＝０，ａ・ｘ＝ａ・ｑ＝ｃで表すと

　　ｃ0＝ｎ／２Ｓ，ｈ0＝｜ｃ0｜／∥ａ0∥

　ＰnＰ1に垂直なｎ次元超平面では

　　ａ1＝（１／２－１／（ｎ＋１），１／２－１／（ｎ＋１），・・・，－１／（ｎ＋１））

　　ｃ1＝（ｎ－１）／２Ｓ，ｈ1＝｜ｃ1｜／∥ａ1∥

　ＰnＰn-1に垂直なｎ次元超平面では

　　ａn-1＝（１／ｎ－１／（ｎ＋１），１／ｎ－１／（ｎ＋１），・・・，－１／（ｎ＋１））

　　ｃn-1＝１／２Ｓ，ｈn-1＝｜ｃn-1｜／∥ａn-1∥

　　∥ａk∥^2＝Σ（１／（ｋ＋１）－１／（ｎ＋１））^2＋Σ（１／（ｎ＋１））^2＝（ｎ－ｋ）^2／（ｋ＋１）（ｎ＋１）^2＋（ｎ－ｋ）／（ｎ＋１）^2＝（ｎ－ｋ）／（ｋ＋１）（ｎ＋１）

　　ｈk＝（ｎ－ｋ）／２Ｓ・｛（ｋ＋１）（ｎ＋１）／（ｎ－ｋ）｝^1/2＝１／ｎ・｛（ｋ＋１）（ｎ－ｋ）／（ｎ＋１）｝^1/2

　これでもｈk＝ｈn-k+1にはならないが，

　　ｎ＝３，ｋ＝０のとき．ｈ0＝１／３・｛３／４｝^1/2

　　ｎ＝３，ｋ＝１のとき．ｈ1＝１／３・｛４／４｝^1/2

　　ｈ0／ｈ1＝｛３／４｝^1/2＝√３／２

となって，切頂八面体の計量と一致する．

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［３］まとめ

　原正多胞体の面数公式を

　　Ｎk^(n)＝n+1Ｃk+1

また，規格化した後のｋ次元面までの距離をＨkとする．

　　Ｈk＝ｈkＳ／√２＝｛（ｋ＋１）（ｎ－ｋ）（ｎ＋１）／８｝^1/2

　置換多面体の体積公式は

　　Ｖn＝Ｎ0Ｖn-1Ｈ0／ｎ＋Ｎ1Ｖn-2Ｈ1／ｎ＋・・・＋Ｎn-2Ｖn-2Ｈ1／ｎ＋Ｎn-1Ｖn-1Ｈ0／ｎ

ｎが奇数のとき，中央項はｎ－［（ｎ＋１）／２］次置換多面体柱柱・・・になる．

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