実際の計算に移る前に，これまでの流れを点検し訂正や一部修正を行ってきたが，気にかかる点はまだまだある．

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［１］正軸体版の場合

　たとえば，３次元正軸体を切頂する場合，ｘ≧ｙ≧ｚ≧０なる点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）においてｚ＝０，４次元の場合はｘ≧ｙ≧ｚ≧ｗ≧０なる点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）においてｗ＝０としてずべての稜線の長さが等しくなる条件を求めた．

　これによりｎ次元では２^n＋２ｎ面体が得られるのであるが，３次元正軸体を切頂切稜する場合，ｘ≧ｙ≧ｚ≧０なる点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）においてｚ≠０，４次元の場合はｘ≧ｙ≧ｚ≧ｗ≧０なる点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）においてｗ≠０としてずべての稜線の長さが等しくなる条件を求め無ければならない．

　すなわち，３次元でｘ≧ｙ≧ｚ＞０，４次元でｘ≧ｙ≧ｚ≧ｗ＞０とすることにによって得られる多面体は２^n＋２ｎ面体ではなく，３^n−１面体になる．このわずかな違いが大きな差を生むことになるのである．

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［２］置換多面体の場合

　そこで問題となるのが正単体を切頂切稜して置換多面体を作る場合である．切頂切稜であるから，３次元でｘ≧ｙ≧ｚ＞０，４次元でｘ≧ｙ≧ｚ≧ｗ＞０とすることによって２（２^n−１）面体が得られると思われるが，そうだろうか？

　２次元の場合，全体を１次元あげて３次元正単体の境界多面体

　　Ｖ1（１，０，０，０）

　　Ｖ2（０，１，０，０）

　　Ｖ3（０，０，１，０）

　　ｘ＋ｙ＋ｚ＝１

をとるとしよう．

　ｘ≧ｙ≧ｚ≧０なる点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）が与えられたとき，ずべての稜線の長さが等しくなるのは，点Ｐからｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面までの距離が等しいときである．点Ｐを１次元境界多面体上の点（ｚ＝０）として，点Ｐ（ｘ，ｙ，０）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面までの距離を等しくとると

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２

　→　ｘ＝２ｙ，ｙ＝ｙ，ｚ＝０

これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＝１上の点であるから代入すると，３ｙ＝１

　→　ｘ＝２／３，ｙ＝１／３，ｚ＝０

となって正解が得られるが，これでは切頂はできても切稜できないことになる．

　ここは，ｘ≧ｙ≧ｚ＞０なる点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）が与えられたとき，点Ｐからｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝０平面までの距離を等しくとり，

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝ｚ

　→　ｙ＝ｚ＋√２ｚ

　　　ｘ＝ｙ＋√２ｚ＝ｚ＋２√２ｚ

これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＝１上の点であるから代入すると，

　　３ｚ＋３√２ｚ＝１　→　ｚ＝１／（３＋３√２）

また，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）のｘ＝ｙ平面に対する鏡映は（ｙ，ｘ，ｚ）であるから，辺の長さは√２（ｘ−ｙ）＝２ｚ．

　３次元の場合は，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝ｗ平面，ｗ＝０平面までの距離を等しくとると

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝（ｚ−ｗ）／√２＝ｗ

　→　ｚ＝ｗ＋√２ｗ

　　　ｙ＝ｚ＋√２ｗ＝ｗ＋２√２ｗ

　　　ｘ＝ｙ＋√２ｗ＝ｗ＋３√２ｗ

これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１上の点であるから代入すると，

　　４ｗ＋６√２ｗ＝１　→　ｗ＝１／（４＋６√２）

また，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）のｘ＝ｙ平面に対する鏡映は（ｙ，ｘ，ｚ，ｗ）であるから，辺の長さは√２（ｘ−ｙ）＝２ｗ．

　一般には，Ｓ＝ｎ（ｎ＋１）／２として

　→　（ｎ＋１）ω＋Ｓ√２ω＝１，ω＝１／（ｎ＋１＋Ｓ√２）

　　　ｘ＝（１＋ｎ√２）ω，ｙ＝（１＋（ｎ−１）√２）ω，ｚ＝（１＋（ｎ−２）√２）ω，・・・，ｗ＝ω，辺の長さは２ω．

とするのが正しいようである．

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［３］置換多面体の場合の切頂切稜面までの距離

　切頂切稜のための点Ｐが求まった．次は切頂切稜面までの距離の問題である．ｋ次元面の面心は

　　（１，０，０，・・・，０，０）

　　（１／２，１／２，０，・・・，０，０）

　　（１／３，１／３，１／３，・・・，０，０）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　（１／ｎ，１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ，０）

であるから，それと中心座標

　　（１／（ｎ＋１），・・・，１／（ｎ＋１））

を結ぶ位置ベクトルはそれぞれ

　　（１−１／（ｎ＋１），−１／（ｎ＋１），−１／（ｎ＋１），・・・，−１／（ｎ＋１），−１／（ｎ＋１））

　　（１／２−１／（ｎ＋１），１／２−１／（ｎ＋１），−１／（ｎ＋１），・・・，−１／（ｎ＋１），−１／（ｎ＋１））

　　（１／３−１／（ｎ＋１），１／３−１／（ｎ＋１），１／３−１／（ｎ＋１），・・・，−１／（ｎ＋１），−１／（ｎ＋１））

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　（１／ｎ−１／（ｎ＋１），１／ｎ−１／（ｎ＋１），・・・，１／ｎ−１／（ｎ＋１），−１／（ｎ＋１））

　　１／ｋ−１／（ｎ＋１）＝（ｋ（ｎ＋１）−１）／ｋ（ｎ＋１）

　これらの方向の面心は，たとえば，２次元の場合は

［１］（１，０，０）方向の面心は（ｘ，０，０）．

［２］（１，１，０）方向の面心は（（ｘ＋ｙ）／２，（ｘ＋ｙ）／２，０）．

［３］（１，１，１）方向の面心は（（ｘ＋ｙ＋ｚ）／３，（ｘ＋ｙ＋ｚ）／３，（ｘ＋ｙ＋ｚ）／３）．

であるから，

　　（ｘ＋ｙ＋ｚ＋・・・＋ｗ）／（ｎ＋１）＝１／（ｎ＋１）

より，それぞれ

　　（ｘ−１／（ｎ＋１），−１／（ｎ＋１），−１／（ｎ＋１），・・・，−１／（ｎ＋１），−１／（ｎ＋１））

　　（（ｘ＋ｙ）／２−１／（ｎ＋１），（ｘ＋ｙ）／２−１／（ｎ＋１），−１／（ｎ＋１），・・・，−１／（ｎ＋１），−１／（ｎ＋１））

　　（（ｘ＋ｙ＋ｚ）／３−１／（ｎ＋１），（ｘ＋ｙ＋ｚ）／３−１／（ｎ＋１），１／３−１／（ｎ＋１），・・・，−１／（ｎ＋１），−１／（ｎ＋１））

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　（（１−ｗ）／ｎ−１／（ｎ＋１），（１−ｗ）／ｎ−１／（ｎ＋１），・・・，（１−ｗ）／ｎ−１／（ｎ＋１），−１／（ｎ＋１））

になる．

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