これまで体積公式が知られている高次元多面体は，

　　正単体αn，正軸体βn，超立方体γn，超球Ｂn

それに標準単体Δn，角錐Ｐｙｒnを加えても少数にすぎない．他に体積の計算が可能な高次元多面体はないのだろうか？

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【１】体積の計算が可能な高次元多面体

［１］ｎ次元切頂八面体

　ｘ＝２／ｎで正軸体βnを切頂すると，ｎ次元切頂八面体βn(x)を構成することができる．βn(x)は空間充填２^n＋２ｎ面体であり，その体積は，ｎ次元切頂八面体の切頂面間距離が４／ｎであることから，

　　ｖｏｌβn(x)＝（４／ｎ）^n／２

また，１象限分の体積は

　　ｖｏｌΔn(x)＝（２／ｎ）^n／２

になる．３次元では切頂八面体の体積はそれに外接する立方体の半分であることはよく知られている．この性質は任意の次元についても成り立つのであるが，そのことを知っている人はたとえいたとしてもごくわずかであろう．

［２］置換多面体

　面数２（２^n−１），頂点数（ｎ＋１）！の空間充填多面体である．正単体αnを切頂・切稜することによって構成することができる．

［３］面数３^n−１（頂点数２^nｎ！）の多面体

　正軸体βnあるいは同じことではあるが超立方体γnを切頂・切稜することによって構成することができる．この多面体は空間充填多面体ではない．

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【２】置換多面体の場合

　１次元置換多面体は線分，２次元置換多面体は六角形である．３次元置換多面体である切頂八面体は８枚の六角形と６枚の正方形からなるが，４枚の六角形＋６枚の正方形＋４枚の六角形と考える．それぞれ，２次元置換多面体＋１次元置換多面体柱＋２次元置換多面体である．

　同様に，４次元置換多面体は１０個の切頂八面体と２０個の六角柱からなるが，５個の切頂八面体＋１０個の六角柱＋１０個の六角柱＋５個の切頂八面体と考える．３次元置換多面体＋２次元置換多面体柱＋２次元置換多面体柱＋３次元置換多面体である．

　これから類推すると，５次元置換多面体は６個の４次元置換多面体＋１５個の３次元置換多面体柱＋２０個の（２次元置換多面体柱）柱＋１５個の３次元置換多面体柱＋６個の４次元置換多面体柱，６次元置換多面体は７個の５次元置換多面体＋２１個の４次元置換多面体柱＋３５個の（３次元置換多面体柱）柱＋３５個の（３次元置換多面体柱）柱＋２１個の４次元置換多面体柱＋７個の５次元置換多面体となるはずである．

　なお，（（ｎ−ｊ）次置換多面体柱）柱・・・において，ｊ＝ｎ−１ならばそれはｎ−１次元超立方体のことであるが，それは出現しないことがわかる．

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【３】正軸体版の場合

　１次元正軸体版は線分，２次元正軸体版は八角形である．３次元正軸体版である大菱形立方八面体は８枚の八角形と６枚の六角形と１２枚の正方形からなるが，８枚の正八角形＋１２枚の正方形＋８枚の六角形と考える．それぞれ，２次元正軸体版＋（１次元正軸体版柱＝正方形＝１次元置換多面体柱）＋２次元置換多面体である．

　これから類推すると４次元正軸体版は８個の３次元正軸体版＋２４個の２次正軸体版柱＋３２個の２次元置換多面体柱＋１６個の３次元置換多面体，５次元正軸体版は１０個の４次元正軸体版＋４０個の３次元正軸体版柱＋８０個の（（２次元正軸体柱）柱＝八角柱柱，（２次元置換多面体柱）柱＝六角柱柱）＋８０個の３次元置換多面体柱＋３２個の４次元置換多面体，６次元置換多面体は１２個の５次元正軸体版＋６０個の４次元正軸体版柱＋１６０個の（３次元正軸体版柱）柱＋２４０個の（３次元置換多面体柱）柱＋１９２個の５次元置換多面体柱＋６４個の５次元置換多面体となるはずである．

　ｎ−１次元超立方体は出現しないが，５次元のときの中央項８０個が八角柱柱ｘ個と六角柱柱ｙ個にどのように割り当てられるのだろうか？　置換多面体の場合とは違って，一般にｎが奇数のとき，中央項の割り当てが不明である．

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