【１】３次元の場合の証明

　多面体Ｐに対し二面角をδiとすると，デーン不変量δ（Ｐ）はすべての辺で二面角の和をとり，ｍｏｄ　πで還元したものとして定義される．

　　δ（Ｐ）＝Σｎδ　　　（ｍｏｄ　π）

　３次元正多面体の場合，δ4＋δ8＝π，δ6＝π／２であるから

　　Ｎ1δ4＋Ｎ2δ12＋Ｎ3δ20≠０　　（ｍｏｄ　π）

とより簡潔に書くことができる．これは，デーンの定理（１９０１年）

　　Ｎ1δ4≠０　　（ｍｏｄ　π）

の一般化に他ならない．

　これか証明されたことから，３次元正多面体の元素数は≧４であるという結論が主張できた．４次元以上の場合もこの方法で証明できれは強い意味で証明できたことになり，かっこいいのであるが，いささか牛刀割鶏の感あり．

　すなわち，正多面体をどのように分解し接合しても元素数はこれ以上減らせないという最小元素数を求めるのに，細分化する元素数に上限を設けない分解合同は無用の長物と考えられるのである．

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【２】上限付き幾何学

　ところで，空間充填の必要条件は，一辺の回りの二面角の和が３６０°となることである．

　　Σｎδ＝２π

これはデーン不変量

　　Σｎδ＝０　　（ｍｏｄ　π）

を弱めたものであることがわかるだろう．

　しかしながら「自明な上限」を考慮すると，各正多面体は高々ベース部分とルーフ部分に分解されるだけであって，分解合同の必要条件としてはこれで十分なのである．正多面体の元素定理が「空間充填」と「分解合同」の中間に位置していることが理解されるだろう．

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【３】３次元の場合の証明・再考

　３次元の場合も「上限付き」という意味では，４次元以上と変わりはない．そこで，上限付き幾何学の観点から，正多面体の元素定理をみてみることにしよう．３次元の一種類の合同な正多面体による空間充填では立方体だけが空間充填形なのであるが，もし２種類以上を使ってよければ，正四面体と正八面体の二面角が互いに補角であるから，両者を組み合わせて空間充填が可能になる．正多面体同士の組合せでは，正四面体と正八面体を組み合わせたものだけが空間を充填するのである．

　すなわち

　　ｌδ4＋ｍδ6＋ｎδ8＋ｏδ12＋ｐδ20＝２π

を満たす整数（ｌ，ｍ，ｎ，ｏ，ｐ）は，

　　（０，４，０，０，０）

　　（２，０，２，０，０）

で，これらは実際に空間充填するから，

［１］単一種による空間充填の例

［２］複数の種類による空間充填例

［３］非空間充填例

と分類すると，３次元では

［１］立方体（クラスＢ）

［２］正四面体＋正八面体（クラスＡ）

［３］正１２面体（クラスＣ），正２０面体（クラスＤ）

の４群に分類される．

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【４】４次元以上での上限付き幾何学

　４次元では

［１］８胞体，１６胞体，２４胞体（これらはどれもＲＰから構成できる，クラスＢ）

［２］なし

［３］５胞体（クラスＡ），１２０胞体（クラスＣ），６００胞体（クラスＤ）

の４群，５次元では

［１］１０房体（５次元立方体，クラスＢ）

［２］なし

［３］６房体（５次元正四面体，クラスＡ），３２房体（５次元正八面体，クラスＣ）

の３群となる．

　超立方体は各次元で空間充填形［１］である．［２］の空間充填形として２種の胞間の角の和が３６０°になるのは，ｎ≧５のとき，８次元の

［１］８次元立方体

［２］８次元正四面体＋８次元正八面体

［３］なし

の場合だけであることがわかっているが，［２］は超立方体に再編されない．実際，

　　１７２８０×正単体＋２１６０×正軸体→超立方体ではない亜正多面体

である．よって，ｎ（≧５）次元正多面体の元素数は３であることが確定する．

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【５】まとめ

　４次元以上の元素定理の証明に齟齬があるのではない．これが正しいのであって，逆に，３次元の場合のデーン不変量を用いた証明が牛刀割鶏であったというわけである．３次元と４次元は元素数が減少する特殊な次元といえるだろう．

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