３次元では切頂八面体の体積はそれに外接する立方体の半分であることはよく知られている．この性質は任意の次元についても成り立つのであるが，そのことを知っている人はたとえいたとしてもごくわずかであろう．また，このことから４次元では正２４胞体の体積はそれに外接する立方体の半分であることがわかる．

　一方，３次元では菱形十二面体（準正多面体の双対多面体）の体積はそれに内接する立方体の２倍であることもよく知られている．菱形十二面体は３次元立方体の８頂点と正八面体の６頂点を結んでできる多面体である．

　４次元空間でこのまねをして，４次元立方体の１６頂点と正１６胞体の８頂点を結ぶと正２４胞体になるが，４次元空間の特殊性からこの図形が本当に正多面体になるわけである．

　今回のコラムでは，正２４胞体の体積がそれに内接する４次元立方体の２倍になるかどうかを調べてみたい．

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【１】正２４胞体の計量

　正２４胞体の座標は，正８胞体の頂点（±１，±１，±１，±１）と正１６胞体の頂点（±２，０，０，０），（０，±２，０，０），（０，０，±２，０），（０，０，０，±２）からなる．

　これを２４個の正八面体錘に分解する．

　　（±１，±１，１，１），（０，０，２，０），（０，０，０，２）

はその代表的な正八面体の６頂点である．１辺の長さ２であるから，その体積は

　　（２√２）^3／６

また，その中心は（０，０，１，１）であるから，（０．０．０．０）からの距離は√２．

　したがって，正２４胞体の体積は

　　（２√２）^3／６・√２／４・２４＝３２

　それに対して，正８胞体の体積は２^4＝１６であるから，正２４胞体の体積がそれに内接する４次元立方体の２倍になることが確かめられた．

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【２】５次元空間にて

　５次元空間でこのまねをしようとしても，うまくいきません．５次元立方体の頂点（±１，±１，±１，±１，±１））と５次元正軸体の頂点（±２，０，０，０，０），（０，±２，０，０，０），（０，０，±２，０，０），（０，０，０，±２，０），（０，０，０，０，±２）から１０頂点

　　（±１，±１，±１，１，１），（０，０，０，２，０），（０，０，０，０，２）

をとると，１辺の長さが２と√５の一種の準正多面体のようなものになりますが，４次元正軸体（頂点数８）ではなく，体積計算がままなりません．

　７頂点（±１，±１，１，１，１），（０，０，２，０，０），（０，０，０，２，０），（０，０，０，０，２）をとっても何ら事情は変わりません．

　これまで体積公式が知られている高次元多面体は，

　　正単体αn，正軸体βn，超立方体γn，超球Ｂn

それに標準単体Δn，角錐Ｐｙｒnを加えても少数にすぎないのです．

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