n次元正軸体の切頂面x1=xにはn-1次元面ができる.面x1+x2+・・・+xn=1との交線上にはn-2次元面ができる.それと切頂面x2=xとの交線上にはn-3次元面ができる.n=5の場合,2次元面は
xi+xj+xk=1-2x=x/2
n=6の場合,2次元面は
xi+xj+xk=1-3x=0
となる点を結ぶと面ができるが,これだけではまったく手がかりがないに等しい.
辺の数は簡単でしたが,面の数は意外と厄介です(三角形ばかりの場合だと簡単かもしれませんが・・・).そこで,ベクトルの内積を使って面の形を考え併せて求めることにしました.
===================================
[1]n=5のとき
頂点P(x,x,x/2,0,0)の置換は5!/2!2!=30個ありますが,直接,点P(x,x,x/2,0,0)と結ばれる第1象限内の点はP1(x/2,x,x,0,0),P2(x,x/2,x,0,0),P3(x,x,0,x/2,0),P4(x,x,0,0,x/2)の4点です.
また,点P(x,x,x/2,0,0)の周囲には(x,±x,±x/2,0,0)の置換4!/2!・4=48個ありますが,直接,点P(x,x,x/2,0,0)と結ばれる第1象限以外の点はP5(x,x,0,-x/2,0),P6(x,x,0,0,-x/2)の2点です.
P1-P-P2: cosθ=1/2
P1-P-P3: cosθ=-1/2
P1-P-P4: cosθ=-1/2
P1-P-P5: cosθ=-1/2
P1-P-P6: cosθ=-1/2
P2-P-P3: cosθ=-1/2
P2-P-P4: cosθ=-1/2
P2-P-P5: cosθ=-1/2
P2-P-P6: cosθ=-1/2
P3-P-P4: cosθ=1/2
P3-P-P5: cosθ=0
P3-P-P6: cosθ=1/2
P4-P-P5: cosθ=1/2
P4-P-P6: cosθ=0
P5-P-P6: cosθ=1/2
P3-P-P5とP4-P-P6でcosθ=0となるが,実際に正方形面を作るのではなく,切頂面にできる正八面体の赤道となる.したがって,点Pは5枚の正三角形と8枚の正六角形で取り囲まれることになるから,
f2=(5/3+8/6)・f0=(5/3+8/6)・240=720
===================================
[2]n=6のとき
頂点P(x,x,x,0,0,0)の置換は6!/3!3!=20個あり,直接,点P(x,x,x,0,0,0)と結ばれる第1象限内の点はP1(x,x,0,x,0,0),P2(x,x,0,0,x,0),P3(x,x,0,0,0,x),P4(x,0,x,x,0,0),P5(x,0,x,0,x,0),P6(x,0,x,0,0,x),P7(0,x,x,x,0,0),P8(0,x,x,0,x,0),P9(0,x,x,0,0,x)の9点です.
また,点P(x,x,x,0,0,0)の周囲には(x,±x,±x,0,0,0)の置換5!/2!3!・4=40個ありますが,直接,点P(x,x,x,0,0,0)と結ばれる第1象限以外の点はP10(x,x,0,-x,0,0),P11(x,x,0,0,-x,0),P12(x,x,0,0,0,-x),P13(x,0,x,-x,0,0),P14(x,0,x,0,-x,0),P15(x,0,x,0,0,-x)の6点です.
P1-P-P2: cosθ=1/2
P1-P-P3: cosθ=1/2
P1-P-P4: cosθ=1/2
P1-P-P5: cosθ=0
P1-P-P6: cosθ=0
P1-P-P7: cosθ=1/2
P1-P-P8: cosθ=0
P1-P-P9: cosθ=0
P1-P-P10: cosθ=0
P1-P-P11: cosθ=1/2
P1-P-P12: cosθ=1/2
P1-P-P13: cosθ=1/2
P1-P-P14: cosθ=0
P1-P-P15: cosθ=0
P2-P-P3: cosθ=1/2
P2-P-P4: cosθ=0
P2-P-P5: cosθ=1/2
P2-P-P6: cosθ=0
P2-P-P7: cosθ=0
P2-P-P8: cosθ=1/2
P2-P-P9: cosθ=0
P2-P-P10: cosθ=1/2
P2-P-P11: cosθ=0
P2-P-P12: cosθ=1/2
P2-P-P13: cosθ=0
P2-P-P14: cosθ=-1/2
P2-P-P15: cosθ=0
P3-P-P4: cosθ=0
P3-P-P5: cosθ=0
P3-P-P6: cosθ=1/2
P3-P-P7: cosθ=0
P3-P-P8: cosθ=0
P3-P-P9: cosθ=1/2
P3-P-P10: cosθ=1/2
P3-P-P11: cosθ=1/2
P3-P-P12: cosθ=0
P3-P-P13: cosθ=0
P3-P-P14: cosθ=0
P3-P-P15: cosθ=-1/2
P4-P-P5: cosθ=1/2
P4-P-P6: cosθ=1/2
P4-P-P7: cosθ=1/2
P4-P-P8: cosθ=0
P4-P-P9: cosθ=0
P4-P-P10: cosθ=-1/2
P4-P-P11: cosθ=0
P4-P-P12: cosθ=0
P4-P-P13: cosθ=0
P4-P-P14: cosθ=1/2
P4-P-P15: cosθ=1/2
P5-P-P6: cosθ=1/2
P5-P-P7: cosθ=0
P5-P-P8: cosθ=1/2
P5-P-P9: cosθ=0
P5-P-P10: cosθ=0
P5-P-P11: cosθ=-1/2
P5-P-P12: cosθ=0
P5-P-P13: cosθ=1/2
P5-P-P14: cosθ=0
P5-P-P15: cosθ=1/2
P6-P-P7: cosθ=0
P6-P-P8: cosθ=0
P6-P-P9: cosθ=1/2
P6-P-P10: cosθ=0
P6-P-P11: cosθ=0
P6-P-P12: cosθ=-1/2
P6-P-P13: cosθ=1/2
P6-P-P14: cosθ=1/2
P6-P-P15: cosθ=0
P7-P-P8: cosθ=1/2
P7-P-P9: cosθ=1/2
P7-P-P10: cosθ=-1/2
P7-P-P11: cosθ=0
P7-P-P12: cosθ=0
P7-P-P13: cosθ=-1/2
P7-P-P14: cosθ=0
P7-P-P15: cosθ=0
P8-P-P9: cosθ=1/2
P8-P-P10: cosθ=0
P8-P-P11: cosθ=-1/2
P8-P-P12: cosθ=0
P8-P-P13: cosθ=0
P8-P-P14: cosθ=-1/2
P8-P-P15: cosθ=0
P9-P-P10: cosθ=0
P9-P-P11: cosθ=0
P9-P-P12: cosθ=-1/2
P9-P-P13: cosθ=0
P9-P-P14: cosθ=0
P9-P-P15: cosθ=-1/2
P10-P-P11: cosθ=1/2
P10-P-P12: cosθ=1/2
P10-P-P13: cosθ=0
P10-P-P14: cosθ=0
P10-P-P15: cosθ=0
P11-P-P12: cosθ=1/2
P11-P-P13: cosθ=0
P11-P-P14: cosθ=1/2
P11-P-P15: cosθ=0
P12-P-P13: cosθ=0
P12-P-P14: cosθ=0
P12-P-P15: cosθ=1/2
P13-P-P14: cosθ=1/2
P13-P-P15: cosθ=1/2
P14-P-P15: cosθ=1/2
この場合も実際に正方形面や正六角形面を作るのではなく,したがって,点Pは39枚の正三角形で取り囲まれることになるから,
f2=(39/3)・f0=39/3・160=2080
===================================