高次元正多面体の構成元素数を求めることは可能だろうか？　４次元の場合，正多面体の分解数に上限を設けない「分解合同」では

　　ｌδ1＋ｍδ2＋ｎδ3＋ｏδ4＋ｐδ5＋ｑδ6＝０　　　（ｍｏｄπ）

としたが，元素数≧２となって煮えきらない結果しか得られなかった．

　発想の転換が必要になったのだが，この段階では正確な値ではなく，元素の最大分割数は６であるという上限を設定することが必要になる．いわば上限付き幾何であるが，前の反省をふまえて，空間充填のための必要条件

　　ｌδ1＋ｍδ2＋ｎδ3＋ｏδ4＋ｐδ5＋ｑδ6＝２π

を満たす整数（ｌ，ｍ，ｎ，ｏ，ｐ，ｑ）を探索することにした．

　ファセットの形も考え合わせると，

　　（０，４，０，０，０，０）

　　（０，０，３，０，０，０）

　　（０，０，０，３，０，０）

　　（１，０，１，０，０，１）

以外に解はない．

　　（０，４，０，０，０，０）

　　（０，０，３，０，０，０）

　　（０，０，０，３，０，０）

は実際に空間充填するが，

　　（１，０，１，０，０，１）

は局所的な空間充填ではあっても大域的な空間充填にはならない（このことはトポグラフを使って簡単に証明することができる）．

　以上のことから，４次元正多面体には４クラスあることがわかったが，それに引き続いて，

　　（０，４，０，０，０，０）

　　（０，０，３，０，０，０）

　　（０，０，０，３，０，０）

が同じ元素ＲＰを使って構成できることを示すのである．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　５次元の場合もｎ＋１が平方数のとき，分解合同条件

　　ｌδs＋ｍδc＋ｎδo＝０　　　（ｍｏｄπ）

が成り立つ可能性があることが示されていて，これも煮えきらない結果であった．

　それを空間充填条件

　　ｌδs＋ｍδc＋ｎδo＝２π

に変更したが，８次元の場合だけ（ｌ，ｍ，ｎ）＝（１，０，２）なる解が存在する．それがＥ8格子なのだが，その場合でも構成元素数は減らせないことが証明できて，かくして一件落着とあいなったわけである．

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