切頂八面体の体積はそれに外接する立方体の半分であることはよく知られている．この性質は任意の次元についても成り立つのであるが，そのことを知っている人はたとえいたとしてもごくわずかであろう．

　ｎ次元切頂八面体の切頂面間距離は４／ｎ，したがって，ｎ次元切頂八面体の体積は（４／ｎ）^n／２，また，１象限分の体積は（２／ｎ）^n／２になるのである．

　さて，今回のコラムでは前回のやり残し，面数ｎ＋１（＝頂点数）の正単体を球体で近似することを試みたい．

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【１】正単体の構成

　正単体を最も手軽に作るには，全体を１次元上げて，ｎ＋１次元空間内のｎ＋１個の単位点

　　（１，０，・・・，０）

から生成される単体をとることである．中心は

　　（１／（ｎ＋１），１／（ｎ＋１），・・・，１／（ｎ＋１））

１辺の長さは√２，中心−頂点間距離は

　　｛（１−１／（ｎ＋１））^2＋ｎ／（ｎ＋１）^2｝^1/2

　＝（ｎ／（ｎ＋１））^1/2

体積は

　　（ｎ＋１）^1/2／ｎ！

になる．

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【２】正単体の球体近似

　球の体積

　　π^(n/2)/Γ(n/2+1)・ｒ^n

とｎ次元正単体の体積

　　（ｎ＋１）^1/2／ｎ！

を等しいとおいて半径を求めてみる．

　偶数次元の場合（ｎ＝２ｋ）だけを扱うことにするが，

　　（ｎ＋１）^1/2／ｎ！＝（２ｋ＋１）^1/2／（２ｋ）！

　　π^(n/2)/Γ(n/2+1)・ｒ^n＝π^k/ｋ！・ｒ^2k

したがって，

　　ｒ^2k≒（ｋ！／（２ｋ）！）・（２ｋ＋１）^1/2／π^k

　　ｒ^2≒（ｋ！／（２ｋ）！）^1/k・（２ｋ＋１）^1/2k／π＝（（ｎ／２）！／ｎ！）^2/n・（ｎ＋１）^1/n／π

となるような球がbest fitすることになる．

　そこで，best fitする球（ｒ^2＝１／（ｎ−ｊ））を考えると，ｎ→∞のとき，ｊ／ｎあるいは（ｎ−ｊ）／ｎ＝１−ｊ／ｎの収束を調べるという問題になる．

　　（（ｎ／２）！／ｎ！）^-2/nπ／（ｎ＋１）^1/n＝ｎ−ｊ

　　（（ｎ／２）！／ｎ！）^-2π^n／（ｎ＋１）＝（ｎ−ｊ）^n

　　π^n／（ｎ＋１）＝（ｎ−ｊ）^n｛（ｎ／２）！／ｎ！｝^2

　ここで，

　　π^n／（ｎ＋１）＝（ｎ−ｊ）^n｛（ｎ／２）！／ｎ！｝^2

の両辺を

　　｛√（πｎ）（ｎ／２）^n/2ｅｘｐ（−ｎ／２）｝^2＝πｎ（ｎ／２）^nｅｘｐ（−ｎ）

で割って

　　｛√（２πｎ）（ｎ）^nｅｘｐ（−ｎ２）｝^2＝２πｎ（ｎ）^2nｅｘｐ（−２ｎ）

を掛けてから，すなわち，

　　２（２ｅｎ）^n

を掛けてから，極限をとってみよう．

　すると

　　左辺＝２（２πｅｎ）^n／（ｎ＋１）

　　右辺＝（ｎ−ｊ）^n

となるから，さらに両辺をｎ^nで割ってから極限をとると

　　左辺＝２（２πｅ）^n／（ｎ＋１）

　　右辺＝ｅｘｐ（−ｊ）

　　−ｊ→ｎｌｏｇ（２πｅ）＋ｌｏｇ２／（ｎ＋１）→ｎｌｏｇ（２πｅ）

　　ｒ^2＝１／（ｎ−ｊ）→１／（１＋ｌｏｇ（２πｅ））ｎ→１／（ｌｏｇ（２πｅ^2））ｎ

となり，収束する．

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