やっと一歩前進しました．今回のコラムでは空間充填２^n＋２ｎ面体のｆ2公式にチャレンジしてみたいと思います．

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［１］ｎ＝３のとき

　第１象限にある頂点Ｐ（ｘ，ｘ／２，０）を考えてみます．鏡映対称変換によって，第１象限内に移る点はその置換３！個（＝正六角形）です．胞の位置には全部で８枚の正六角形ができます．

　また，頂点Ｐ（ｘ，ｘ／２，０）の周囲には４点（ｘ，±ｘ／２，０），（ｘ，０，±ｘ／２）からなる正方形ができるので，８＋６＝１４面体となるわけです．

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［２］ｎ＝４のとき

　頂点Ｐ（ｘ，ｘ，０，０）の置換は４！／２！２！＝６個（＝正八面体）あります．胞の位置には全部で１６個の正八面体ができます．

　また，頂点Ｐ（ｘ，ｘ，０，０）の周囲には６点（ｘ，±ｘ，０，０），（ｘ，０，±ｘ，０），（ｘ，０，０，±ｘ）からなる正八面体ができるので，１６＋８＝正２４胞体となるわけです．

　正軸体の頂点と胞の位置に新たな面ができるのですが，それらが連結するとき，何種類かの図形がさまざまな面を互いに共有し合いながら，ｎ次元空間を連結していきます．したがって，２次元面の合計は正八面体２４個分＝２４×８＝１９２ではなく，

　　２ｆ2＝２４×８＝１９２，ｆ2＝９６

になります．

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［３］ｎ＝５のとき

　各頂点がｎ本の辺上にあるｎ価のｎ次多面体（単純多面体）に対しては，デーン・サマービル関係式

　　ｆk＝Σ(0,k)（−１）^j（ｎ−ｊ，ｎ−ｋ）ｆj

が成り立ちます．単純ｎ次多面体に対して，与えられたｊ次面を含むｋ次面の数は（ｎ−ｊ，ｎ−ｋ）になります．ｋ＝ｎのときがオイラー関係式ですが，オイラー関係式は単純多面体だけでなく任意の多面体に対して成り立ちます．

　頂点Ｐ（ｘ，ｘ，ｘ／２，０，０）の置換は５！／２！２！＝３０個ありますが，直接，点Ｐ（ｘ，ｘ，ｘ／２，０，０）と結ばれる第１象限内の点は（ｘ／２，ｘ，ｘ，０，０），（ｘ，ｘ／２，ｘ，０，０），（ｘ，ｘ，０，ｘ／２，０），（ｘ，ｘ，０，０，ｘ／２）の４点です．ｆ0＝２４０，ｆ1＝７２０より，この多面体は単純多面体ではありません．なお，仮に単純多面体だとしても，デーン・サマービル関係式からはｆ2を求めることはできません．

　ｆ0＝２４０，ｆ1＝７２０より，他の象限に向かってもう２本の辺がでるはずですが，確かめてみましょう．点Ｐ（ｘ，ｘ，ｘ／２，０，０）の周囲には（ｘ，±ｘ，±ｘ／２，０，０）の置換４！／２！・４＝４８個ありますが，直接，点Ｐ（ｘ，ｘ，ｘ／２，０，０）と結ばれる第１象限以外の点は（ｘ，ｘ，０，−ｘ／２，０），（ｘ，ｘ，０，０，−ｘ／２）の２点です．

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［４］ｎ＝６のとき

　頂点Ｐ（ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０）の置換は６！／３！３！＝２０個あり，直接，点Ｐ（ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０）と結ばれる第１象限内の点は（ｘ，ｘ，０，ｘ，０，０）（ｘ，ｘ，０，０，ｘ，０），（ｘ，ｘ，０，０，０，ｘ），（ｘ，０，ｘ，ｘ，０，０），（ｘ，０，ｘ，０，ｘ，０），（ｘ，０，ｘ，０，０，ｘ），（０，ｘ，ｘ，ｘ，０，０）（０，ｘ，ｘ，０，ｘ，０），（０，ｘ，ｘ，０，０，ｘ）の９点です．

　また，点Ｐ（ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０）の周囲には（ｘ，±ｘ，±ｘ，０，０，０）の置換５！／２！３！・４＝４０個ありますが，直接，点Ｐ（ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０）と結ばれる第１象限以外の点は（ｘ，ｘ，０，−ｘ，０，０），

（ｘ，ｘ，０，０，−ｘ，０），（ｘ，ｘ，０，０，０，−ｘ），（ｘ，０，ｘ，−ｘ，０，０），（ｘ，０，ｘ，０，−ｘ，０），（ｘ，０，ｘ，０，０，−ｘ）の６点です．

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［雑感］

　２辺を結ぶと面ができるから単純に考えるとそれでよさそうですが，共面になって正六角形や正三角形ができる場合があります．目標はｎ＝５における頂点数３０，４８の図形，ｎ＝６における頂点数２０，４０の図形の２次元面数ですが，難しそうです．

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