ｘ＝２／ｎとおきます．今回のコラムでは，計量的な方法と組み合わせ論的な方法を使って，空間充填２^n＋２ｎ面体のｆ0，ｆ1公式を求めてみたいと思います．

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［１］ｎ＝３のとき

　第１象限にある頂点Ｐ（ｘ，ｘ／２，０）を考えてみます．鏡映対称変換によって，第１象限内に移る点はその置換３！個（＝正六角形）ですが，そのいずれも２つの象限間にまたがっているため，

　　ｆ0＝３！／２・２^3＝２４

　また，頂点Ｐ（ｘ，ｘ／２，０）と結ばれる第１象限内の点は（ｘ／２，ｘ，０）と（ｘ，０，ｘ／２）の２点ですが，（ｘ，ｘ／２，０）−（ｘ／２，ｘ，０）は２つの象限間にまたがっているため，

　　２ｅ＝２ｖ＝１２

　　ｆ1＝（３／１＋３／２）・２^3＝３６

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［２］ｎ＝４のとき

　頂点Ｐ（ｘ，ｘ，０，０）の置換は４！／２！２！＝６個（＝正八面体）ありますが，そのいずれも４つの象限間にまたがっているため，

　　ｆ0＝６／４・２^4＝２４

　また，点Ｐ（ｘ，ｘ，０，０）と結ばれる第１象限内の点は（ｘ，０，ｘ，０），（ｘ，０，０，ｘ），（０，ｘ，ｘ，０），（０，ｘ，０，ｘ）の４点ですが，いずれも２つの象限間にまたがっているため，

　　２ｅ＝４ｖ＝２４

　　ｆ1＝１２／２・２^4＝９６

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［３］ｎ＝５のとき

　頂点Ｐ（ｘ，ｘ，ｘ／２，０，０）の置換は５！／２！２！＝３０個ありますが，そのいずれも４つの象限間にまたがっているため，

　　ｆ0＝３０／４・２^5＝２４０

　また，点Ｐ（ｘ，ｘ，ｘ／２，０，０）と結ばれる第１象限内の点は（ｘ／２，ｘ，ｘ，０，０），（ｘ，ｘ／２，ｘ，０，０），（ｘ，ｘ，０，ｘ／２，０），（ｘ，ｘ，０，０，ｘ／２）の４点で，頂点数３０の多面体の辺数ｅは

　　２ｅ＝４ｖ＝１２０，ｅ＝６０

となりますが，（ｘ／２，ｘ，ｘ，０，０），（ｘ，ｘ／２，ｘ，０，０）とは４つの象限間に，（ｘ，ｘ，０，ｘ／２，０），（ｘ，ｘ，０，０，ｘ／２）とは２つの象限間にまたがっているため，

　　ｆ1＝（３０／２＋３０／４）・２^5＝７２０

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［４］ｎ＝６のとき

　　頂点Ｐ（ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０）の置換は６！／３！３！＝２０個ありますが，そのいずれも８つの象限間にまたがっているため，

　　ｆ0＝２０／８・２^6＝１６０

　また，点Ｐ（ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０）と結ばれる第１象限内の点は（ｘ，ｘ，０，ｘ，０，０）（ｘ，ｘ，０，０，ｘ，０），（ｘ，ｘ，０，０，０，ｘ），（ｘ，０，ｘ，ｘ，０，０），（ｘ，０，ｘ，０，ｘ，０），（ｘ，０，ｘ，０，０，ｘ），（０，ｘ，ｘ，ｘ，０，０）（０，ｘ，ｘ，０，ｘ，０），（０，ｘ，ｘ，０，０，ｘ）の９点で，頂点数２０の多面体の辺数ｅは

　　２ｅ＝９ｖ＝１８０，ｅ＝９０

となりますが，いずれも４つの象限間にまたがっているため，

　　ｆ1＝９０／４・２^6＝１４４０

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［５］ｎ＝７のとき

　頂点Ｐ（ｘ，ｘ，ｘ，ｘ／２，０，０，０）の置換は７！／３！３！＝１４０個ありますが，そのいずれも８つの象限間にまたがっているため，

　　ｆ0＝１４０／８・２^7＝２２４０

　また，点Ｐ（ｘ，ｘ，ｘ，ｘ／２，０，０，０）と結ばれる第１象限内の点は（ｘ／２，ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０），（ｘ，ｘ／２，ｘ，ｘ，０，０，０），

（ｘ，ｘ，ｘ／２，ｘ，０，０，０），（ｘ，ｘ，ｘ，０，ｘ／２，０，０），（ｘ，ｘ，ｘ，０，０，ｘ／２，０），（ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０，ｘ／２）の６点で，頂点数１４０の多面体の辺数ｅは

　　２ｅ＝６ｖ＝８４０，ｅ＝４２０

となりますが，（ｘ／２，ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０），（ｘ，ｘ／２，ｘ，ｘ，０，０，０），（ｘ，ｘ，ｘ／２，ｘ，０，０，０）とは８つの象限間に，（ｘ，ｘ，ｘ，０，ｘ／２，０，０），（ｘ，ｘ，ｘ，０，０，ｘ／２，０），（ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０，ｘ／２）とは４つの象限間にまたがっているため，

　　ｆ1＝（２１０／８＋２１０／４）・２^7＝１００８０

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［６］ｎ＝８のとき

　頂点Ｐ（ｘ，ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０，０）の置換は８！／４！４！＝７０個ありますが，そのいずれも１６の象限間にまたがっているため，

　　ｆ0＝７０／１６・２^8＝１１２０

　また，点Ｐ（ｘ，ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０，０）と結ばれる第１象限内の点は（ｘ，ｘ，ｘ，０，ｘ，０，０，０），（ｘ，ｘ，ｘ，０，０，ｘ，０，０），（ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０，ｘ，０），（ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０，０，ｘ），（ｘ，ｘ，０，ｘ，ｘ，０，０，０），（ｘ，ｘ，０，ｘ，０，ｘ，０，０），（ｘ，ｘ，０，ｘ，０，０，ｘ，０），（ｘ，ｘ，０，ｘ，０，０，０，ｘ），（ｘ，０，ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０），（ｘ，０，ｘ，ｘ，０，ｘ，０，０），（ｘ，０，ｘ，ｘ，０，０，ｘ，０），（ｘ，０，ｘ，ｘ，０，０，０，ｘ），（０，ｘ，ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０），（０，ｘ，ｘ，ｘ，０，ｘ，０，０），（０，ｘ，ｘ，ｘ，０，０，ｘ，０），（０，ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０，ｘ）の１６点で，頂点数７０の多面体の辺数ｅは

　　２ｅ＝１６ｖ＝１１２０，ｅ＝５６０

となりますが，いずれも８つの象限間にまたがっているため，

　　ｆ1＝５６０／８・２^8＝１７９２０

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