疑問「３次方程式には根は３つしか存在しないにもかかわらず，位数６の二面体群Ｄ3とはこれ如何に」については，以下のような意味合いらしい．

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【１】二面体群

　正ｎ角形の表と裏を区別することから二面体群と呼ばれるが，その位数は２ｎである．それは中心の周りに角度２π／３だけ回転させる変換σとひとつの頂点と中心とを結ぶ直線を軸として裏返す変換τとで生成される．

　　Ｄn＝〈σ，τ｜σ^n＝τ^2＝ｉｄ，τ^-1στ＝σ^-1〉

　ｎ＝３の場合，Ｄ3の位数は６であるが，ｘ^3−ｓｘ−ｓ＝０の根をα，β，γとすると

　　σ：α→β→γ→α

　　τ：α→α，β→γ→β

　　Ｄ3＝〈σ，τ｜σ^3＝τ^2＝ｉｄ，στ＝τσ^-1〉

という意味合いになる．

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【２】証明

　　ｘ^3−ｓｘ−ｓ＝（ｘ−α）（ｘ−β）（ｘ−γ）＝０

　　α＋β＋γ＝０，αβ＋βγ＋γα＝−ｓ，αβγ＝ｓ

　　α＝−（β＋γ），βγ＝−α（β＋γ）−ｓ＝α^2−ｓ

　一方，

　　α^3−ｓα−ｓ＝０より，α^2＝ｓ＋ｓ／α

このとき，ｕ＝α＋２βとおくと

　　ｕ＝α＋２β＝β−γ

　　ｕ^2＝（β−γ）^2＋４βγ＝ｓ−３ｓ／α

よって，

　　α＝−３ｓ／（ｕ^2−ｓ）

　　β＝（ｕ^3−ｓｕ＋３ｓ）／２（ｕ^2−ｓ）

　　γ＝−（ｕ^3−ｓｕ−３ｓ）／２（ｕ^2−ｓ）

が得られる．

　これらについて，

　　σ（ｕ）＝−（ｕ^3−ｓｕ−９ｓ）／２（ｕ^2−ｓ）

　　σ^2（ｕ）＝−（ｕ^3−ｓｕ＋９ｓ）／２（ｕ^2−ｓ）

　　τ（ｕ）＝−ｕ

とすると

　　σ：α→β→γ→α

　　τ：α→α，β→γ→β

となっている．

　なお，ｕ＝α＋２βは６次方程式

　　ｘ^6−６ｓｘ^4＋９ｓ^2ｘ^2−s^2（４ｓ−２７）＝０

の根になっている．これはα＝−３ｓ／（ｕ^2−ｓ）をｘ^3−ｓｘ−ｓ＝０に代入し，分母を払って整理すれば得られる．

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