空間充填２^n＋２ｎ面体について，５次元以上は点集合がオーバーラップしている構造をとります．しかも，それらが連結するとき，何種類かの図形がさまざまな面を互いに共有し合いながら，ｎ次元空間を連結していくのだが，その際，重複する図形はどうなるのだろうか？　これまで行ってきた組み合わせ論的な方法は失敗続きで自信を失いました．計量的な方法と組み合わせてみます．

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【１】計量的な方法

　正軸体の切頂面となる（ｎ−１）次元面の頂点数は，ｘ＝２／ｎとして

［１］ｎ＝３のとき，１次元面上の交点を結ぶ

　　（ｘ，１−ｘ，０，・・・０）→２（ｎ−１）＝４　　（正方形）

　　　ｘ＞１−ｘ＝ｘ／２

［２］ｎ＝４のとき，１次元面上の交点を結ぶ

　　（ｘ，ｘ，０，・・・０）→２（ｎ−１）＝６　　（正八面体）

［３］ｎ＝５のとき，２次元面上の交点を結ぶ

　　（ｘ，ｘ，１−２ｘ，０，・・・０）→４（ｎ−１）（ｎ−２）＝４８

　　　ｘ＞１−２ｘ＝ｘ／２

［４］ｎ＝６のとき，２次元面上の交点を結ぶ

　　（ｘ，ｘ，ｘ，０，・・・，０）→４（ｎ−１）（ｎ−２）／２＝４０

［５］ｎ＝７のとき，３次元面上の交点を結ぶ

　　（ｘ，ｘ，ｘ，１−３ｘ，０，・・・０）→８（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）／２＝４８０

　　　ｘ＞１−３ｘ＝ｘ／２

［６］ｎ＝８のとき，３次元面上の交点を結ぶ

　　（ｘ，ｘ，ｘ，ｘ，０，・・・０）→８（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）／６＝２８０

となって，ｎ＝３，４の場合を除き，（ｎ−１）次元正軸体にはならないことが確認される．

　このとき，与えられた点に対して勝手に線を引いていくのではなく，辺長が√２ｘになるように結んでみよう．すると，

［１］ｎ＝３のとき，

　　（ｘ，ｘ／２，０）→（ｘ，ｘ／２，０）　　（正方形）

［２］ｎ＝４のとき，

　　（ｘ，ｘ，０，０）→（ｘ，０，±ｘ，０）　　（正八面体）

［３］ｎ＝５のとき，

　　（ｘ，ｘ，ｘ／２，０，０）→（ｘ，０，ｘ／２，±ｘ，０）　　（４次元平面上の正八面体×３）

［４］ｎ＝６のとき，

　　（ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０）→（ｘ，０，ｘ，±ｘ，０，０）　　（５次元平面上の４次元正１６胞体）

［５］ｎ＝７のとき，

　　（ｘ，ｘ，ｘ，ｘ／２，０，０，０）→（ｘ，０，ｘ，ｘ／２，±ｘ，０，０）　　（６次元平面上の４次元正１６胞体×４）

［６］ｎ＝８のとき，

　　（ｘ，ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０，０）→（ｘ，０，ｘ，ｘ，±ｘ，０，０，０）　　（７次元平面上の５次元正３２胞体）

　ｎ＝５では正八面体３個の相貫体が５次元正軸体の頂点の位置に並び，ｎ＝６では４次元１６胞体が６次元正軸体の頂点の位置に並ぶことになる．しかし，これはオーバーラップすることを考慮に入れていないため，矛盾を生ずる．そこで，結ぶ相手を変えて線を引いてみることにする．なお，２つの頂点で１つの座標が異なり，それ以外は等しいとき，辺が存在する．

［１］ｎ＝３のとき，

　　（ｘ，ｘ／２，０）→（ｘ，０，±ｘ／２）　　（正方形）

［２］ｎ＝４のとき，

　　（ｘ，ｘ，０，０）→（ｘ，０，±ｘ，０）　　（正八面体）

［３］ｎ＝５のとき，

　　（ｘ，ｘ，ｘ／２，０，０）→（ｘ，ｘ，０，±ｘ／２，０）

　　２つの４次元切頂面の３次元交線上の点から４本の辺がでる　　（正八面体）

［４］ｎ＝６のとき，

　　（ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０）→（ｘ，ｘ，０，±ｘ，０，０）

　　２つの５次元切頂面上の４次元交線上の点から６本の辺がでる　　（４次元正１６胞体）

［５］ｎ＝７のとき，

　　（ｘ，ｘ，ｘ，ｘ／２，０，０，０）→（ｘ，ｘ，ｘ，０，±ｘ／２，０，０）

　　３つの６次元切頂面の４次元交線上の点から６本の辺がでる　　（４次元正１６胞体）

［６］ｎ＝８のとき，

　　（ｘ，ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０，０）→（ｘ，，ｘ，ｘ，０，±ｘ，０，０，０）　　

　　３つの７次元切頂面上の５次元交線上の点から８本の辺がでる　　（５次元正軸体）

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【２】雑感

　与えられた点に対して線を引く．たとえば，正八面体同士を結ぶと角柱構造ができるが，空間充填２^n＋２ｎ面体は切頂のみで切稜操作は入ってこないから，角柱構造をもたない．すなわち，ｎ次元正軸体を切頂してできるｎ−１次元胞は，ｎ−１次元正軸体の頂点と胞の位置に新たな面ができる構造であることがわかる．

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