ｎ次元正軸体には外接球と内接球以外にも各種中接球があります．

　　頂点を通るもの（外接球）：ｒ＝１

　　辺の中点を通るもの：ｒ＝１／√２

　　面の中心を通るもの：ｒ＝１／√３

　　３次元面面の中心を通るもの：ｒ＝１／√４

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　　ｎ−１次元面の中心を通るもの（内接球）：ｒ＝１／√ｎ

　たとえば，内接球の場合の結果が

　　ｎ！／ｎ^n≒２（π／８）^n〜√（２ｎ／π）（π／８）^n

であったのですが，それでは

［Ｑ］スターリングの公式をもっともよく近似する球はどれか？

という問題を考えてみます．

　（その１７）で与えた解はおおざっぱですが，これを精密化すれば完全な証明になりそうです．

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［Ａ］正軸体の中接球の体積

　　π^(n/2)/Γ(n/2+1)・ｒ^n

とｎ次元切頂八面体の体積

　　１／２・（２／ｎ）^n・２^n

の大小比較を行うが，ここでは偶数次元の場合（ｎ＝２ｋ）だけを扱うことにする．

　　１／２・（２／ｎ）^n・２^n＝１／２・｛１／ｋ｝^2k・２^2k

　　π^(n/2)/Γ(n/2+1)・ｒ^n＝π^k/ｋ！・ｒ^2k

したがって，

　　ｒ^2k≒ｋ！／２・（２／ｋ√π）^2k

　　ｒ^2≒（ｋ！／２）^1/k・４／πｋ^2＝（（ｎ／２）！／２）^2/n・１６／πｎ^2

となるような中接球がbest fitすることになる．

　そこで，best fitする中接球（ｒ^2＝１／（ｎ−ｊ））を考えると，ｎ→∞のとき，ｊ／ｎあるいは（ｎ−ｊ）／ｎ＝１−ｊ／ｎの収束を調べるという問題になる．

　ｎ→∞になるにつれて

　　（（ｎ／２）！／２）^-2/nπｎ^2／１６＝ｎ−ｊ

　　（（ｎ／２）！／２）^-2/nπｎ／１６＝（ｎ−ｊ）／ｎ＝（１−ｊ／ｎ）

　　（（ｎ／２）！／２）^-2（πｎ／１６）^n＝（１−ｊ／ｎ）^n

　ｎ→∞のとき，右辺→ｅｘｐ（−ｊ）であるから，

　　−ｊ→−２ｌｏｇ（（ｎ／２）！／２）＋ｎｌｏｇ（πｎ／１６）

とするのはよいとしても，スターリングの公式を使って

　　（ｎ／２）！→√（πｎ）（ｎ／２）^n/2ｅｘｐ（−ｎ／２）

とするのは正しくない．相対誤差は０に近づくが絶対誤差は無限大に発散するからである．

　そこで，

　　４（πｎ／１６）^n＝（１−ｊ／ｎ）^n｛（ｎ／２）！｝^2

の両辺を

　　｛√（πｎ）（ｎ／２）^n/2ｅｘｐ（−ｎ／２）｝^2＝πｎ（ｎ／２）^nｅｘｐ（−ｎ）

で割ってから，極限をとってみよう．すると

　　左辺＝４／πｎ・（πｅ／８）^n

　　右辺＝ｅｘｐ（−ｊ）

　　−ｊ→ｎｌｏｇ（πｅ／８）＋ｌｏｇ（４／πｎ）

　　−ｊ／ｎ→ｌｏｇ（πｅ／８）＝１＋ｌｏｇ（π／８）＝０．０６５２８７５

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［結論］

　ｎ→∞のとき，

　　ｒ^2＝１／（ｎ−ｊ）→１／（１．０６５２８７５ｎ）

なる球がスターリングの公式の最良近似球になる．内接球（ｒ^2＝１／ｎ，ｊ＝０）は最適もののではないにせよ，かなりいい線をいっている近似球体である．

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