（その１６）において，最適な中接球（ｒ^2＝１／（ｎ−ｊ））を考えて，『ｎ→∞になるにつれて

　　（（ｎ／２）！／２）^-2/nπｎ^2／１６＝ｎ−ｊ

　　（（ｎ／２）！／２）^-2/nπｎ／１６＝（ｎ−ｊ）／ｎ＝（１−ｊ／ｎ）

　　（（ｎ／２）！／２）^-2（πｎ／１６）^n＝（１−ｊ／ｎ）^n→ｅｘｐ（−ｊ）

であるから，

　　−ｊ→−２ｌｏｇ（（ｎ／２）！／２）＋ｎｌｏｇ（πｎ／１６）

　　（ｎ／２）！→√（πｎ）（ｎ／２）^n/2ｅｘｐ（−ｎ／２）

より

　　−ｊ→−ｌｏｇ（πｎ）−ｎｌｏｇ（ｎ／２）＋ｎ＋２ｌｏｇ２＋ｎｌｏｇ（πｎ／１６）＝ｎｌｏｇ（πｅ／８）＋ｌｏｇ（４／πｎ）＝０．０６５２８７５ｎ＋０．２４１５６５−ｌｏｇｎ

に近づいていくのである．』

とした．

　しかし，この計算は２つの意味で正しくない．

(1)スターリングの公式の相対誤差は減少するが，絶対誤差はｘの増大とともに増大する

(2)計算の仕方が技巧的すぎる

(1)は修正不能だが，ここでは(2)について再考してみたい．

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【１】スターリングの公式

　数列｛ａn｝と｛ｂn｝がともに無限大に発散し，差｛ａn−ｂn｝は無限大に発散するが，比｛ａn／ｂn｝は１に近づくという例に，ｘを越えない素数の個数を与える近似的な公式（素数定理）

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ

や階乗ｎ！の近似値を与える公式として有名なスターリングの公式があります．

　　ｎ！〜√（２πｎ）ｎ^nｅ^-n

　”〜”記号は漸近的に等しい，すなわちｘが十分大きいとき両者の比が１に近づくという意味であって，両者の差がなくなるという意味ではありません．いいかえれば，この近似式の絶対誤差はｘの増大とともに増大するが，相対誤差は減少する，つまり，左辺と右辺の比はｘを∞にすると極限が存在して０でも無限大でもなく，１に収束する，

　　π（ｘ）／（ｘ／ｌｏｇｘ）〜１　　　（ｘ→∞）

　　ｎ！／（√（２πｎ）ｎ^nｅ^-n）〜１　　　（ｎ→∞）

ということです．

　スターリングの公式を誘導してみましょう．

　　ｌｏｇｎ！＝ｌｏｇ１＋ｌｏｇ２＋・・・＋ｌｏｇｎ＝Σｌｏｇｘ

ここで，ｙ＝ｌｏｇｘのグラフを幅が１の長方形に分割していくと，ｘが十分大きければ相対的に和の間隔が小さくなるので，和は積分に置き換えられます．

　　Σｌｏｇｘ≒∫(1,x)ｌｏｇｔｄｔ

ｌｏｇｘの原始関数は置換積分よりｘｌｏｇｘ−ｘ＋Ｃと計算されますから，右辺はｘｌｏｇｘ−ｘ＋１となります．したがって，

　　ｎ！≒ｅｎ^nｅ^-n

が得られます．

　　ｌｏｇｎ！＝ｎｌｏｇｎ−ｎ＋ｏ（ｎ）

　　　　　ただし，ｌｉｍｏ（ｎ）／ｎ＝０

としても大体了解されますが，もっと正確に近似すると

　∫(0,n)ｌｏｇｔｄｔ＜ｌｏｇｎ！＜∫(1,n+1)ｌｏｇｔｄｔ

より

　　ｎｌｏｇｎ−ｎ＜ｌｏｇｎ！＜（ｎ＋１）ｌｏｇ（ｎ＋１）−ｎ

したがって，両辺の相加平均に近い（ｎ＋１／２）ｌｏｇｎ−ｎでｌｏｇｎ！を近似できることになり，

　　∫(1,x)ｌｏｇｔｄｔ

　　＝ｌｏｇ１＋ｌｏｇ２＋・・・＋ｌｏｇｘ−１／２ｌｏｇｘ＋δ

であること，また，ウォリスの公式

　　√π〜（ｎ！）2 ２2n／（２ｎ）！√ｎ

より，結局，

　　ｎ！〜√（２πｎ）ｎn ｅ-n

にたどりつきます。

　スターリングの近似公式は階乗の一般化であるガンマ関数の近似値としても使われています．

　　Γ（ｘ＋１）＝∫ｅ^-tｔ^xｄｔ〜√（２πｘ）ｘ^xｅ^-x

近似の程度を進めると

　　Γ（ｘ＋１）〜√（２πｘ）ｘx ｅ-x[1+1/(12x)+1/(288x^2)-139/(51840x^3)-.....}

が得られます．これらの公式ではｘが大きくなるほど相対誤差は小さくなります．

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【２】計算方法の訂正

　しかがって，絶対誤差

　　ｎ！−√（２πｎ）ｎ^nｅ^-n

が±∞のどちらになるかによって答えは違ってくるのだが，このまま計算を続行したい．

　　ｊ＝ｎ−（（ｎ／２）！／２）^-2/nπｎ^2／１６

　ｎ→∞のとき，スターリングの公式より

　　（ｎ／２）！→√（πｎ）（ｎ／２）^n/2ｅｘｐ（−ｎ／２）

　　（（ｎ／２）！／２）^-2/n→（πｎ／４）^-1/n（ｎ／２）^-1ｅ＝（２ｅ／ｎ）（４／πｎ）^1/n

　　ｊ→ｎ−ｅπｎ／８・（４／πｎ）^1/n＝ｎ（１−ｅπ／８・（４／πｎ）^1/n）

　コラム「シュタイナー数とシュタイナー点」では，ｙ＝ｘ^1/xはｘ＝ｅのとき最大値ｙ＝１．４４４６６４７８６１・・・（シュタイナー数）をとることを紹介した．

（証）ｌｏｇｙ＝（ｌｏｇｘ）／ｘ

　　　ｙ'／ｙ＝（１−ｌｏｇｘ）／ｘ^2

　　　ｙ’＝（１−ｌｏｇｘ）ｘ^(1/x-2)

より，ｙ＝ｘ^(1/x)は，ｘ＝ｅのとき，最大値ｅ^(1/e)＝１．４４４６・・・をとる．

　厳密でないうえ，非常に微妙なところではあるが，

　　πｅ＝８．５３９・・・

より，ｊ→−∞となり，（その１６）と逆の結果になった．この辺の事情は２つの値

　　ｅ^π＝２３．１４０６９・・・

　　π^e＝２２．４５９１５・・・

がほとんど同じくらいになることと通じるものがあるのであろう．

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【３】まとめ

　　−ｊ→０．０６５２８７５ｎ＋０．２４１５６５−ｌｏｇｎ

では，

　　−ｊ／ｎ→０．０６５２８７５

　　ｊ→ｎ（１−ｅπ／８・（４／πｎ）^1/n）

では

　　ｊ／ｎ→１−ｅπ／８＝０．０６７

であるから，いずれにせよ「内接球（ｒ^2＝１／ｎ，ｊ＝０）は最適もののではないにせよ，かなりいい線をいっている」ことがわかった．

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