これまでの考察には勘違いが含まれているが，それでも超立方体と正軸体の「積多胞体」は有用なアイデアと思われる．

　また，辺を構成する頂点数，正多角形を構成する辺数，ｎ次元正多胞体を構成するｎ−１次元面の数を並べて書けば，

　　超立方体＝（２，４，６，・・・，２ｎ）

　　正軸体＝（２，３，４，，・・・，ｎ，２^n）

と表記される．これらの積はいずれもｇ＝２^nｎ！で，ｎ次元空間をｇ個の対称領域に分割する．シュレーフリ記号よりは何か手がかりを与えてくれるかもしれない．問題となっている点を整理してみたい．

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［１］ｎ＝５のとき（５次元４２胞体）｛３，３，３，４｝（０，１，１，０，０）

　５次元の超立方体の２次元面と３次元面の面の間を通る場合（あるいはその双対として５次元正軸体の辺の中点と２次元面の中心の間を通る場合），立方体の内部に正八面体型に頂点ができる．また，４次元立方体は８個の立方体から構成されるので，４８頂点からなる４次元図形ができることになる．いまのところ，その辺数・面数はわからないが，これまでの検討から正八面体と切頂四面体からなるものと思われる．そして，５次元正３２胞体の４次元面の位置に４次元切頂単体があるのだが，積多面体においては，正軸体の面と３次元面と４次元面，４次元立方体の３次元面，４次元面が保存されることになる．

［２］ｎ＝６のとき（６次元７６胞体）｛３，３，３，３，４｝（０，０，１，０，０，０）

　６次元の超立方体の３次元面の面１６０個の中心を通る場合，３次元立方体の中心を頂点とする正１６胞体（頂点数８）が４次元立方体の内部にできる．また，５次元立方体は１０個の４次元立方体から構成されるが，この場合は頂点が３次元立方体の面上にあるため，ひとつの頂点が２回重複して数えられるので，４０頂点からなる５次元図形ができることになる．そして，５次元正３２胞体の５次元面の位置に５次元切頂単体があるのだが，積多面体においては，正軸体の３次元面と４次元面と５次元面，４次元立方体の４次元面，５次元面が保存されることになる．

［３］多胞体の連結

［１］ｎ＝５のとき，頂点周りにできる４８頂点からなる４次元図形

［２］ｎ＝６のとき，頂点周りにできる４０頂点からなる５次元図形

が連結するとき，何種類かの図形がさまざまな面を互いに共有し合いながら，ｎ次元空間を連結していく．とくにｎ−１次元面を共有し合う場合はｎ次元空間を充填することもある．

　５次元立方体は１０個の４次元立方体から，６次元立方体は１２個の５次元立方体から構成されるが，さまざまな面を互いに共有しあいながら構成されるので，頂点数は４８×１０，４０×１２にはならないのである．

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［雑感］各面がｐ角形，各頂点が正ｑ角錐である正多面体を（ｐ，ｑ）で表します．（ｐ，ｑ）をシュレーフリ記号と呼びます．シュレーフリはこれを一般化して，ｎ次元正多面体を

　　（ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn-1）

で表しました．これは（ｎ−１）次元正多面体（ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn-2）が（ｎ−３）次元面上にｐn-1個ずつ会するようなｎ次元正多面体という意味です．たとえば（ｐ，ｑ）はｐ角形が頂点の周りにｑ個ずつ集まってできる３次元正多面体，（ｐ，ｑ，ｒ）は３次元正多面体（ｐ，ｑ）が辺の周りにｒ個ずつ集まってできる４次元正多面体ということになります．

　５次元立方体｛４，３，３，３｝は１０個の４次元立方体｛４，３，３｝が面の周りに３個ずつ集まって，６次元立方体｛４，３，３，３，３｝は１２個の５次元立方体｛４，３，３，３｝が３次元面の周りに３個ずつ集まって構成されますが，シュレーフリ記号が手がかりを与えてくれるかどうかは甚だ疑問です．

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