一松信先生よりお手紙を頂いた．『正１２０胞体の対角線長の積についての計算結果をありがとうございました．あのくらいになると，もう手計算で無理をせず，コンピュータを利用すべきでした．対角線の長さの２乗の和が頂点数の２乗に等しいことは，中心に関して点対称な図形ならばほぼ自明ですが，積はやはり個別の計算するしかないようです．（平面の正多角形は代数的に簡単にわかる特例？）』・・・あらためてまとめておこう．

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【１】距離の積の計算

［１］ｎ次元正単体

　１辺の長さ＝｛２（ｎ＋１）／ｎ｝^1/2

　積＝｛２（ｎ＋１）／ｎ｝^n/2

　ｎ＝２のときは３^2＝辺数の２乗

　ｎ≧３では（ｎ＋１）／ｎが整数でないので，整数でない

［２］ｎ次元正軸体

　１辺の長さ＝２^1/2

　積＝２^2(n-1)/2・２＝２^n・・・これは胞の個数と一致するが偶然？？

［３］ｎ次元超立方体

　１辺の長さ＝２／√ｎ，・・・

　２乗の積＝（４／ｎ）^(2^n-1)Πｋ^(n,k)

　ｎ＝２のとき１６＝４^2

　ｎ＝４のとき２^8・３^4＝２０７３６は整数　　（２乗しない積も１４４）

　ｎ＝３のとき，２^17／３^6など，それ以外は整数にならない．

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【２】散在型についての距離の積の計算

［１］正２４胞体

　　積＝２^4・３^4＝１２９６

　　それ自体平方数

［２］正十二面体

　　√５が消えて，積が２^22／３^9（ほぼ２１３．１）

　　整数でない

［３］正二十面体

　　長さの積＝２０４８／２５√５＝３６．６３５７

　　√５は消えず，整数ではない．

［４］正６００胞体

　　長さの積＝２^16・３^10・５^6＝６．０４６６２×１０^13

　　それ自体平方数

［５］正１２０胞体

　　長さの積＝３^34・５^38・７^6・１１^24・１９^12・２９^12・４１^6／２^164＝１．１１８４×１０^66

　　整数でない

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