切頂面となる（ｎ−１）次元面の頂点数は

［１］ｎ＝３のとき，

　　（ｘ，１−ｘ，０，・・・，０）→２（ｎ−１）＝４　　（正方形）

［２］ｎ＝４のとき，

　　（ｘ，ｘ，０，・・・，０）→２（ｎ−１）＝６　　（正八面体）

［３］ｎ＝５のとき，

　　（ｘ，ｘ，１−２ｘ，０，・・・，０）→４（ｎ−１）（ｎ−２）＝４８

［４］ｎ＝６のとき，

　　（ｘ，ｘ，ｘ，０，・・・，０）→４（ｎ−１）（ｎ−２）／２＝４０

［５］ｎ＝７のとき，

　　（ｘ，ｘ，ｘ，１−３ｘ，０，・・・，０）→８（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）／２＝４８０

［６］ｎ＝８のとき，

　　（ｘ，ｘ，ｘ，ｘ，０，・・・，０）→８（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）／６＝２８０

となって，ｎ＝３，４の場合を除き，（ｎ−１）次元正軸体にはならないことが確認された．今回のコラムでは，空間充填２^n＋２ｎ面体の頂点数の不一致を解消したい．

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【１】空間充填２^n＋２ｎ面体の頂点数

［１］切頂八面体では正八面体の６頂点に配置された６枚の正方形の頂点同士，辺同士を結ぶことを考える．６枚の正方形の辺数の合計は２４．このとき，新たにできる辺は正八面体の辺１２である．したがって，切頂八面体の辺数は合計３６本である．

　また，２辺を結ぶと面ができるから，単純に考えると新たにできる面数は１２となるはずである．しかし，このうち正八面体の面に配置された８カ所は共面となるので，８枚の正六角形ができる．６＋８＝１４面体となるわけである．

［２］正２４胞体では，正１６胞体の８頂点に正八面体（頂点数６）が配置されている．しかし，頂点数は４８とはならない．頂点（ｘ，ｘ，０，０）が２回重複されて数え上げられているからである．すなわち，頂点数は４８／２＝２４．

　８個の正八面体の辺数の合計は１２本×８＝９６である．このとき，新たにできる辺はないので，辺数は９６．

　また，８個の正八面体の面数の合計は８面×８＝６４である．このとき，新たにできる面数は６４／２＝３２となり，合計６４＋３２＝９６面となる．

　正１６胞体の胞に配置されたところには１６個の正八面体ができるので，８＋１６＝２４胞体となるわけである．

［３］５次元４２胞体では，５次元正軸体の１０頂点のところに４８頂点からなる図形ができる．頂点（ｘ，ｘ，１−２ｘ，０，０）も２回重複されて数え上げられるので，頂点数は４８０／２＝２４０．

［４］６次元７６胞体では，６次元正軸体の１２頂点のところにに４０頂点からなる図形ができる．頂点（ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０）も３回重複されて数え上げられるので，頂点数は４８０／３＝１６０．

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【２】雑感

　（その７８）において，空間充填２^n＋２ｎ面体と区別するために，立方体の面数公式をｇk（ｎ）とすると，

ｆ0（２）＝ｇ1（２）＝４

ｆ0（３）＝ｇ2（３）×４＝６×４＝２４

ｆ0（４）＝ｇ2（４）＝２４

ｆ0（５）＝ｇ3（５）×６＝４０×６＝２４０

ｆ0（６）＝ｇ3（６）＝１６０

としたが，６次元までは一致する結果が得られたことになる．

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