今回のコラムでは（その８４）で行った切頂面にできる図形『ｎ次元正軸体の切頂面の中心はｘ＝２／ｎとして（ｘ，０，・・・，０）である．切頂点が浅い場合，頂点は１次元面上の点（ｘ，１−ｘ，０，・・・，０）で与えられる．ｎ＞４のとき，ｘ＜１−ｘとなるので，

［１］４≦ｎ≦６→頂点は２次元面上の点（ｘ，ｘ，１−２ｘ，０，・・・０）

［２］６≦ｎ≦８→頂点は３次元面上の点（ｘ，ｘ，ｘ，１−３ｘ，０，・・・０）

［３］８≦ｎ≦１０→頂点は４次元面上の点（ｘ，ｘ，ｘ，ｘ，１−４ｘ，０，・・・０）

となる．』について，再検討してみます．

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【１】シュレーフリ記号

　各面がｐ角形，各頂点が正ｑ角錐である正多面体を（ｐ，ｑ）で表します．（ｐ，ｑ）をシュレーフリ記号と呼びます．シュレーフリはこれを一般化して，ｎ次元正多面体を

　　（ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn-1）

で表しました．これは（ｎ−１）次元正多面体（ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn-2）が（ｎ−３）次元面上にｐn-1個ずつ会するようなｎ次元正多面体という意味です．たとえば（ｐ，ｑ）はｐ角形が頂点の周りにｑ個ずつ集まってできる３次元正多面体，（ｐ，ｑ，ｒ）は３次元正多面体（ｐ，ｑ）が辺の周りにｒ個ずつ集まってできる４次元正多面体ということになります．

　一方，頂点での形は（ｐ2，・・・，ｐn-1）に対応していると考えることもできます．ここでの問題はＰ0（１，０，・・・，０）の周りにｋ次元面が何個集まるかということですが，シュレーフリ記号からは何もわかりません．

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【２】正軸体の切頂面の頂点数

　ｎ次元標準正軸体は

　　Σ｜ｘk｜≦１

で表現されますが，切頂面はこれと超立方体

　　｜ｘk｜≦２／ｎ

との交わる面となります．

　したがって，

［１］２≦ｎ≦４→頂点は１次元面上の点（ｘ，１−ｘ，０，・・・０）

［２］４≦ｎ≦６→頂点は２次元面上の点（ｘ，ｘ，１−２ｘ，０，・・・０）

［３］６≦ｎ≦８→頂点は３次元面上の点（ｘ，ｘ，ｘ，１−３ｘ，０，・・・０）

［４］８≦ｎ≦１０→頂点は４次元面上の点（ｘ，ｘ，ｘ，ｘ，１−４ｘ，０，・・・０）

の言明ははなはだ不完全です．Ｐ0（１，０，・・・，０）の周りにｋ次元面が何個集まるかについて，

［１］２（ｎ−１）！／（ｎ−２）！＝２（ｎ−１）

［２］２^2（ｎ−１）！／（ｎ−３）！＝４（ｎ−１）（ｎ−２）

［３］２^3（ｎ−１）！／２！（ｎ−４）！＝４（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）

［４］２^4（ｎ−１）！／３！（ｎ−５）！＝８（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）（ｎ−４）／３

という誤解を与えてしまうからです．

　切頂面となる（ｎ−１）次元面の頂点数は

［１］ｎ＝３のとき，

　　（ｘ，１−ｘ，０，・・・０）→２（ｎ−１）＝４　　（正方形）

［２］ｎ＝４のとき，

　　（ｘ，ｘ，０，・・・０）→２（ｎ−１）＝６　　（正八面体）

［３］ｎ＝５のとき，

　　（ｘ，ｘ，１−２ｘ，０，・・・０）→４（ｎ−１）（ｎ−２）＝４８

［４］ｎ＝６のとき，

　　（ｘ，ｘ，ｘ，０，・・・，０）→４（ｎ−１）（ｎ−２）／２＝４０

［５］ｎ＝７のとき，

　　（ｘ，ｘ，ｘ，１−３ｘ，０，・・・０）→８（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）／２＝４８０

［６］ｎ＝８のとき，

　　（ｘ，ｘ，ｘ，ｘ，０，・・・０）→８（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）／６＝２８０

となって，ｎ＝３，４の場合を除き，（ｎ−１）次元正軸体にはならないことが確認される．

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【３】切頂正軸体の切頂面の３次元面

　空間充填２^n＋２ｎ面体では切頂面を別に考える必要はなく，（ｎ−１）次元面と同じ扱いが可能であることがわかった．置換多面体と同様の逐次構造を考えたこと自体が間違いだったというわけである．

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