天秤の両方の皿を使って，ｎグラム（ｎは任意の正の整数）のものを量る問題では，

　　１，２，２^2，２^3，２^4，・・・

グラムでなく

　　１，３，３^2，３^3，３^4，・・・

グラムのおもりを使えばよいことはよく知られている．

　たとえば，１０グラムは同じ皿に１グラムと９グラムのおもりを置けばはかることができる（１０＝１＋３^2），７３グラムは同じ皿に９グラムのおもりを置けば１グラムと８１グラムのおもりを使ってはかることができる（７３＋３^2＝１＋３^4）．

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［１］１，２，２^2，２^3，２^4，・・・グラムのおもりが１個ずつあるとき（２進法）

［２］１，３，３^2，３^3，３^4，・・・グラムのおもりが２個ずつあるとき（３進法）

すべての自然数（グラム）が可能になる．

［３］１，３，３^2，３^3，３^4，・・・グラムのおもりが１個ずつあるとき

は，おもりを片方の皿に載せるやり方では２，５，６グラムなどの重さを計ることはできないが，おもりを両方の皿に振り分けることを許せばどんな重さをも計ることができるのである．また，その際，おもりの選び方は１通りである．

　もっと詳しくいうと，

　　１，３，３^2，３^3，３^4，・・・，３^r

のおもりによって，１から（３^(r+1)−１）／２グラムまでのすべての整数の重さを量ることができ，しかもそれが唯一の方法であるという．

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　任意の正の整数ｎに対して，そのｎを異なる３の累乗の和と差で表す問題であるが，２進数のように数字２を許さない代わりに，数字−１を認めている．

　母関数を使ってアプローチすると，

　　ｆ（ｘ）＝（１＋ｘ＋ｘ^-1）（１＋ｘ^3＋ｘ^-3）＝ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１＋ｘ^-1＋ｘ^-2＋ｘ^-3＋ｘ^-4

を得る．これは１グラムと３グラムのおもりによって４グラム以下の任意の正（負も）の整数を量ることができ，かつ，係数がすべて１であるのでその方法が１通りであることを示している．

　同様に

　　ｆ（ｘ）＝（１＋ｘ＋ｘ^-1）（１＋ｘ^3＋ｘ^-3）（１＋ｘ^9＋ｘ^-9）＝（ｘ^27−１）／ｘ^13（ｘ−１）＝ｘ^13＋ｘ^12＋・・・＋ｘ＋１＋ｘ^-1＋・・・＋ｘ^-12＋ｘ^-13

は１グラムと３グラムと９グラムのおもりによって１３グラム以下の任意の正（負も）の整数を量ることができ，かつ，係数がすべて１であるのでその方法が１通りであることを示している．

　　ｆ（ｘ）＝（１＋ｘ＋ｘ^-1）（１＋ｘ^3＋ｘ^-3）（１＋ｘ^9＋ｘ^-9）（１＋ｘ^27＋ｘ^-27）＝（ｘ^81−１）／ｘ^40（ｘ−１）＝ｘ^40＋ｘ^39＋・・・＋ｘ＋１＋ｘ^-1＋・・・＋ｘ^-39＋ｘ^-40

　一般に，母関数に関する美しい恒等式

　　Π（１＋ｘ^(3^n)＋ｘ^-(3^n)）＝Σｘ^n

が成り立つ．

　［参］ポール・ツァイツ「エレガントな問題解決」オライリージャパン

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