半径１の超球に内接する正多胞体について，一頂点から他頂点への距離（あるいはその２乗）の積がどのような意味をもつのかよくわかりませんが，計算してみるのは面白いと思います．　　　（一松信）．

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【１】距離の積の計算

　Coxeterの本の付録にある表を参考にして計算してみました．

［１］ｎ次元正単体

　１辺の長さ＝｛２（ｎ＋１）／ｎ｝^1/2

　積＝｛２（ｎ＋１）／ｎ｝^n/2

　２乗の積＝｛２（ｎ＋１）／ｎ｝^n

　ｎ＝２のときは３^2＝辺数の２乗

　ｎ≧３では（ｎ＋１）／ｎが整数でないので，整数でない

［２］ｎ次元正軸体

　１辺の長さ＝２^1/2

　積＝２^2(n-1)/2・２＝２^n・・・これは胞の個数と一致するが偶然？？

　２乗の積＝２^2n

［３］ｎ次元超立方体

　１辺の長さ＝２／√ｎ，・・・

　２乗の積＝（４／ｎ）^(2^n-1)Πｋ^(n,k)

　ｎ＝２のとき１６＝４^2

　ｎ＝４のとき２^8・３^4＝２０７３６　　（２乗しない積も１４４）

は整数．ｎ＝３のとき，２^17／３^6など，それ以外は整数にならない．

　それはΣ（ｎ，ｋ）＝２^n−１に注意するとよい．つまり，

　　（４／ｎ）^(2^n-1)Πｋ^(n,k)＝Π（ｋ／ｎ）^(n,k)・４^(2^n-1)

と表される．ｎが素数ならもちろん整数でない．合成数でも奇数の素因子があれば分母に残る．ｎが２の累乗でも８＝２^3以上では分母の２の累乗の方が分子の分よりも大きい．これはおおざっぱですが，これを精密化すれば完全な証明になりそうです．

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【２】散在型についての距離の積の計算

［１］正２４胞体

　積＝２^4・３^4＝１２９６

　２乗の積＝６^8＝１６７９６１６・・・頂点の数などとは無関係？

　これは正２４胞体の９６辺が１６個の正六角形に分解されることに注目すると，平面の正六角形の場合を活用して容易に計算できます．下記の正６００胞体についても７２０辺が７２個の正十角形に分解されることを活用しました．

［２］正十二面体

　√５が消えて，積が２^22／３^9（ほぼ２１３．１）

　２乗の積は２^44／３^18　　　　（整数でない）

［３］正二十面体

　√５が消えて，積が２^11／５^5/2（ほぼ１８３．１）

　２乗の積は２^22／５^5　　　　　（整数でない）

［４］正６００胞体

　積が２^16・３^10・５^6　　　（それ自体平方数）

［５］正１２０胞体

　難物．改めて計算してみますが，整数になりそうです．

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【３】まとめ

　どうやら，２乗の積がすべて有理数になるというのは，正多胞体全体に通じる一般性のようですが，その値がどういう意味をもつのかよくわかりません．

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