空間充填２^n＋２ｎ面体の２次元胞・３次元胞は，以下のようになる．

［１］３次元立方体の辺の中点と面の中心の間を通る場合

　切頂八面体（正方形と正六角形で囲まれる図形）

［２］４次元立方体の面の中心を通る場合

　正２４胞体（正八面体で囲まれる図形）

［３］５次元立方体の面の中心と３次元面の中心を通る場合

　４２胞体（正八面体と切頂四面体で囲まれる図形）

［４］６次元立方体の３次元面の中心を通る場合

　７６胞体（正八面体と正四面体で囲まれる図形）

　多少の齟齬は覚悟の上で，空間充填２^n＋２ｎ面体の面数を推定してみたい．

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【１】ｆ1，ｆ2，ｆn-1

［１］切頂八面体では正八面体の６頂点に配置された６枚の正方形の頂点同士，辺同士を結ぶことを考える．６枚の正方形の辺数の合計は２４．このとき，新たにできる辺は正八面体の辺１２である．したがって，切頂八面体の辺数は合計３６本である．

　また，２辺を結ぶと面ができるから，単純に考えると新たにできる面数は１２となるはずである．しかし，このうち正八面体の面に配置された８カ所は共面となるので，８枚の正六角形ができる．６＋８＝１４面体となるわけである．

［２］正２４胞体では，正１６胞体の８頂点に正八面体が配置されているが，８個の正八面体の辺数の合計は１２本×８＝９６である．（このとき，新たにできる辺はない．）

　また，８個の正八面体の面数の合計は８面×８＝６４である．このとき，新たにできる面数は６４／２＝３２となり，合計６４＋３２＝９６面となる．

　正１６胞体の胞に配置されたところには１６個の正八面体ができるので，８＋１６＝２４胞体となるわけである．

［３］５次元４２胞体では，５次元正軸体の１０頂点に４次元正軸体が配置されているが，１０個の４次元正軸体の辺数の合計は２４本×１０＝２４０である．このとき，新たにできる辺は５次元正軸体の辺４０本であるから，１０個の４次元正軸体の辺数を加えて合計２８０本となる．

　また，１０個の４次元正軸体の面数の合計は３２面×１０＝３２０である．このとき，単純に考えると新たにできる面数は３２０／２＝１６０となるが，このうち５次元正軸体の胞に配置された３２カ所は４次元切頂正単体（共面）となるので，新たに５枚の正六角形ができるので，合計３２０＋１６０＝４８０面となる．

　５次元正軸体の胞に配置されたところには３２個の４次元切頂正単体ができるので，３２＋１２＝４８胞体となるわけである．

［４］６次元７６胞体では，６次元正軸体の１２頂点に５次元正軸体が配置されているが，１２個の５次元正軸体の辺数の合計は４０本×１２＝４８０である．（このとき，新たにできる辺はない．）

　また，１２個の５次元正軸体の面数の合計は８０面×１２＝９６０である．このとき，新たにできる面数は８６０／２＝４８０となり，合計９６０＋４８０＝１４４０面となる．

　６次元正軸体の胞に配置されたところには６４個の５次元切頂正単体ができるので，６４＋１２＝７６胞体となるわけである．

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【２】ｆ3

［１］４次元正２４胞体では，４次元正軸体の８頂点に正八面体が配置されている．正軸体の胞に配置されたところには新たに１６個の正八面体ができる．

［２］５次元４２胞体では，５次元正軸体の１０頂点に４次元正軸体が配置されている．１０個の４次元正軸体の３次元面数の合計は１６個×１０＝１６０である．このうち５次元正軸体の胞に配置された３２カ所は４次元切頂正単体（共面）となるので，新たに１０個の３次元面ができるので，合計１６０＋３２０＝４８０となる．

［３］６次元７６胞体では，６次元正軸体の１２頂点に５次元正軸体が配置されている．１２個の５次元正軸体の３次元面数の合計は８０面×１２＝９６０である．このうち６次元正軸体の胞に配置された６４カ所は５次元切頂正単体（共面）となるので，新たに１２個の３次元面ができるので，合計９６０＋７６８＝１７２８となる．

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【３】不一致

　３次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2）＝（２４，３６，１４）

　４次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3）＝（２４，９６，９６，２４）

　５次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4）＝（８０，２８０，４８０，４８０，４２）

　６次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ5）＝（１２０，４８０，１４４０，１７２８，７６）

高次元ではまったく合致しない．修正は次回の宿題としたい．

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