（その８０）（その８１）にはいくつか考察の誤りもあるが，最終的には

［１］空間充填２^n＋２ｎ面体では，ｎ次元正軸体の頂点の位置にｎ−１次元正軸体，面の位置にｎ−１次元切頂正単体がある．

［２］空間充填２^n＋２ｎ面体に対応する切頂正単体は

　　｛３，４｝（１，１，０）←→｛３｝（１，１）

　　｛３，３，４｝（０，１，０，０）←→｛３，３｝（０，１，０）

　　｛３，３，３，４｝（０，１，１，０，０）←→｛３，３，３｝（０，１，１，０）

　　｛３，３，３，３，４｝（０，０，１，０，０，０）←→｛３，３，３，３｝（０，０，１，０，０）

　正軸体の面数公式は既知（Ｎk^(n)＝２^(k+1)nＣk+1）であるからいいとして，もし当該の切頂正単体の面数公式（Ｚk^(n)）がわかれば，空間充填２^n＋２ｎ面体の面数公式を求めることは可能だろうか？　今回のコラムでは正確な値ではなく，ｋ次元面の最大数はいくつだろうかという上限を予想することから始めたい．いわば上限付き幾何である．

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【１】置換多面体の逐次構造との比較

　切頂八面体（３次元置換多面体）を考えると，正四面体の４頂点と４面に正六角形（２次元置換多面体），６辺に正方形が配置されている．４次元置換多面体では，正５胞体の５頂点と５胞に切頂八面体（３次元置換多面体），１０辺と１０面に六角柱が配置されている．すなわち，３次元置換多面体である切頂八面体は８枚の六角形と６枚の正方形からなるが，４枚の六角形＋６枚の正方形＋４枚の六角形と考えることができる．同様に，４次元置換多面体は１０個の切頂八面体と２０個の六角柱からなるが，５個の切頂八面体＋１０個の六角柱＋１０個の六角柱＋５個の切頂八面体と考えることができる．

　一般に，ｎ次元置換多面体には２（ｎ＋１）個のｎ−１次元置換多面体が配置されているのであるが，胞に配置されているｎ−１次元置換多面体は頂点の配置されているｎ−１次元置換多面体をベルト状に結ぶ際にできるものと考えないと辻褄が合わなくなる．

　なぜなら，ｎ次元置換多面体の頂点数は（ｎ＋１）！であって，ｎ−１次元置換多面体の頂点数ｎ！の（ｎ＋１）倍であるからである．そうすると，ｎ次元置換多面体の辺数（ｎ＋１）！・ｎ／２は

［１］ｎ−１次元置換多面体の辺数ｎ！・（ｎ−１）／２の（ｎ＋１）個分＝（ｎ＋１）！（ｎ−１）／２

［２］ｎ−１次元置換多面体の頂点数ｎ！の（ｎ＋１）個分＝（ｎ＋１）！をすべて結ぶ際にできる辺数＝（ｎ＋１）！／２

の和として得られることになる．

　　（ｎ＋１）！（ｎ−１）／２＋（ｎ＋１）！／２＝（ｎ＋１）！・ｎ／２

　また，ｎ次元置換多面体の胞数は

［１］ｎ次元単体の頂点数＝ｎ＋１

［２］ｎ次元単体の辺数〜（ｎ−１）次元胞数の和Σ（ｎ＋１，ｋ＋１）

の和であって，２（２^n−１）となるのである．

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【２】正軸体版の逐次構造との比較

　３次元正軸体版である大菱形立方八面体は６枚の八角形と１２枚の正方形と８枚の六角形からなる．これらは正八面体の６頂点に正八角形，８面に正六角形，６辺に正方形が配置されている．

　一般に，ｎ次元正軸体版には２ｎ個のｎ−１次元正軸体版が配置されていることになる．その場合，ｎ次元正軸体版の頂点数は２^nｎ！であって，ｎ−１次元正軸体版の頂点数２^n-1（ｎ−１）！の２ｎ倍である．

　そうすると，ｎ次元正軸体版の辺数２^nｎ！・ｎ／２は

［１］ｎ−１次元正軸体版の辺数２^n-1（ｎ−１）！・（ｎ−１）／２の２ｎ個分＝２^nｎ！（ｎ−１）／２

［２］ｎ−１次元正軸体版の頂点数２^n-1（ｎ−１）！ｎ！の２ｎ個分＝２^nｎ！をすべて結ぶ際にできる辺数＝２^nｎ！／２

の和として得られることになる．

　　２^nｎ！（ｎ−１）／２＋２^nｎ！／２＝２^nｎ！・ｎ／２

　また，ｎ次元正軸体版の胞数は

［１］ｎ次元正軸体の頂点数＝２ｎ

［２］ｎ次元正軸体の辺数〜（ｎ−１）次元胞数の和Σ（ｎ，ｋ＋１）２^(k+1)

の和であって，３^n−１となるのである．

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【３】空間充填２^n＋２ｎ面体の場合

　置換多面体とその正軸体版の逐次構造は畳み込み（convolution）がしっかりなされているから，

　　置換多面体の場合・・・Ｎk^(n)＝n+1Ｃk+1

　　正軸体版の場合・・・・Ｎk^(n)＝２^(k+1)nＣk+1

として，

　　ｆk^(n)＝Σ(j=0~k)Ｎj^(n)ｆ(k-j)^(n-1ｰj)

ときれいな形にまとまった．

　しかし，空間充填２^n＋２ｎ面体ではそれに較べやや緩い結合である．一般に，空間充填２^n＋２ｎ面体には２ｎ個のｎ−１次元正軸体が配置されていることになる．その頂点数は２ｎ・２・n-1Ｃ1＝２ｎ・２（ｎ−１）＝４ｎ（ｎ−１）であって，辺数は

［１］ｎ−１次元正軸体の辺数２^2・n-1Ｃ2の２ｎ個分＝４ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）

［２］ｎ−１次元正軸体の頂点数２・n-1Ｃ1の２ｎ個分＝４ｎ（ｎ−１）をすべて結ぶ際にできる辺数＝２ｎ（ｎ−１）

の和として得られる（？）．

　　４ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）＋２ｎ（ｎ−１）＝４ｎ（ｎ−１）（２ｎ−３）

　また，ｎ次元正軸体のｎ−１次元胞数は

［１］ｎ次元正軸体の頂点数＝２ｎ

［２］ｎ次元正軸体の（ｎ−１）次元胞数＝２^n

の和であって，２^n＋２ｎ．ｎ次元正軸体のｎ−２次元胞数は

［１］ｎ−１次元正軸体のｎ−２次元胞数＝２^n-1の２ｎ個分

［２］ｎ−１次元切頂正単体の（ｎ−２）次元胞数＝２ｎの２^n個分

の和であって，２^nｎ＋２^n+1ｎ＝３・２^nｎとなる（？）．

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【４】上限予想

　２次元：（ｆ0，ｆ1）＝（８，８）

　３次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2）＝（２４，７２，１４）

　４次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3）＝（４８，２４０，１９２，２４）

　５次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ3，ｆ4）＝（８０，５６０，４８０，４２）

　６次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ4，ｆ5）＝（１２０，１０８０，１１５２，７６）

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