半径１の円に内接する正ｎ角形の一頂点から他のｎ−１個の頂点への距離の積がｎに等しいことは，複素数平面で表現すれば以下のように証明できます．　　　（一松信）．

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【１】その証明

　平面上の半径１の円に内接する正ｎ角形をＰ0Ｐ1・・・Ｐn-1とする．これを複素数平面上に考え，円を単位円，Ｐ0を１の位置におき，

　　ｅｘｐ（２πｉ／ｎ）＝α

とおくと，Ｐ1，Ｐ2，・・・，Ｐn-1はα，α^2，・・・，α^n-1で表される．すなわち，所要の積は

　　｜１−α｜｜１−α^2｜・・・｜１−α^n-1｜＝Π｜１−α^k｜

である．

　これは

　　ｆ（ｚ）＝（ｚ−α）（ｚ−α^2）・・・（ｚ−α^n-1）

というｎ−１次方程式のｚ＝１での値の絶対値である．ただし，ｚ＝１において，（１−α^k）と（１−α^n-k）とは共役複素数であり，その積は正の実数だから，積そのものが正の実数で絶対値は不要である．

　さて，ｆ（ｚ）は１のｎ乗根α，α^2，・・・，α^n-1を零点とする多項式である．これに（ｚ−１）を掛ければ１のｎ乗根全体となり，ｚ^n−１と一致するから，

　　ｆ（ｚ）＝（ｚ^n−１）／（ｚ−１）＝ｚ^n-1＋・・・＋ｚ＋１

したがって，ｆ（１）＝ｎである．つまり，所要の積はｎ（＝頂点数）に等しい．

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【２】雑感

［１］２乗の和はベクトルの関係なので３次元以上でも同様に考えられますが，積の方は代数的な式になるため，３次元以上では類似の式は無理がありそうです．

［２］たとえば，４次元の正２４胞体はその２４個の頂点が四元整数の単元として表現できますが，距離の積は

　　１^8×（√２）^6×（√３）^8×２＝２^4×３^4＝１２９６

であって，頂点（および胞）の数２４と直接関係ありません．四元数は非可換体で，その上の多項式を考えても積の順序が影響してきて，複素数平面とは同様にはなりません．

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