空間充填２^n＋２ｎ面体は

［１］ｎ次元立方体を超平面：ｘ1＋・・・＋ｘn＝ｎ／２で切頂する

あるいは

［２］ｎ次元正軸体を超平面：ｘ1＝２／ｎで切頂する

ことによって得られます．

　そのとき，２次元胞・３次元胞が以下のようになることがわかっています．

［１］３次元立方体の辺の中点と面の中心の間を通る場合

　切頂八面体（正方形と正六角形で囲まれる図形）

［２］４次元立方体の面の中心を通る場合

　正２４胞体（正八面体で囲まれる図形）

［３］５次元立方体の面の中心と３次元面の中心を通る場合

　４２胞体（正八面体と切頂四面体で囲まれる図形）

［４］６次元立方体の３次元面の中心を通る場合

　７６胞体（正八面体と正四面体で囲まれる図形）

　（その７７）では，空間充填２^n＋２ｎ面体の面数公式について，

［１］正軸体の面数公式・・・・Ｎk^(n)＝２^(k+1)nＣk+1

　　　立方体の面数公式・・・・Ｎk^(n)＝２^(n-k)nＣk

を組み合わせたものになること

［２］ｎのパリティー（奇数か偶数か）によって違いを生ずるため，ｎが偶数か奇数かのケースにわける必要がある

［３］ｆ1＝ｎ／２・ｆ0も成り立たないから単純多面体ではないし，置換多面体にみられた逐次構造も有していないようである

と予想しましたが，本当でしょうか？

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【１】空間充填２^n＋２ｎ面体の逐次構造

　与えられた点に対して，勝手に線を引いていけば多面体は作れますが，空間充填２^n＋２ｎ面体にすべく，勝手に点をつないで線は引けても面を構成するには相手を選んで線を引かねばならないし，逐次的に引くのも大変です．

　そこで，現在わかっている空間充填２^n＋２ｎ面体

　２次元：（ｆ0，ｆ1）＝（４，４）

　３次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2）＝（２４，３６，１４）＝切頂八面体

　４次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3）＝（２４，９６，９６，２４）＝正２４胞体

について，ｎ−１次元胞がどのようになっているのかを調べてみます．

［１］切頂八面体

　正八面体の頂点の位置に正方形（２次元正軸体），２次元面の位置に正六角形（切頂三角形）がある．

［２］正２４胞体

　正１６胞体の頂点の位置に正八面体（３次元正軸体），３次元面の位置に正八面体（中点切頂四面体）がある．

　これから類推すると

［３］５次元４２胞体

　４次元正１６胞体の頂点の位置に正１６胞体（４次元正軸体），４次元面の位置に４次元浅切頂単体がある．

［４］６次元７６胞体

　５次元正３２胞体の頂点の位置に正３２胞体（５次元正軸体），５次元面の位置に５次元中点切頂単体がある．

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【２】まとめ

　３次元空間の場合，頂点との中点の間で切頂するか（浅切頂），辺の中点を通って切頂するか（中点切頂），中点を越えた位置で切頂するか（深切頂），３段階の多面体があります．正単体は自己双対図形なので本質的には２段階の変化となります．正四面体｛３，３｝（１，０，０）を切頂する場合，

［１］辺心に達するまで：切頂四面体｛３，３｝（１，１，０）

［２］辺心　　　　　　：正八面体｛３，３｝（０，１，０）

［３］辺心から面心の間：切頂四面体の形｛３，３｝（１，１，０）

［４］面心　　　　　　：正四面体

となる．

　４次元空間では５段階の多胞体があり，正単体の場合は３段階の変化，一般のｎ次元空間では（２ｎ−３）段階の多胞体があり，正単体の場合は（ｎ−１）段階に変化します．４次元の正単体の切頂については

［０］４次元の正単体　　：正５胞体｛３，３，３｝（１，０，０，０）

［０−１］　　　　　　　：１０胞体｛３，３，３｝（１，１，０，０）

［１］辺の中点を通る場合：１０胞体｛３，３，３｝（０，１，０，０）

［１−２］　　　　　　　：１０胞体｛３，３，３｝（０，１，１，０）

［２］面の中心を通る場合：１０胞体｛３，３，３｝（０，０，１，０）

［２−３］　　　　　　　：１０胞体｛３，３，３｝（０，０，１，１）

［３］胞の中心を通る場合：正５胞体｛３，３，３｝（０，０，０，１）

　このことから，空間充填２^n＋２ｎ面体

　　｛３．・・・，３，４｝（・・，０，１，０，・・・・）

　　｛３．・・・，３，４｝（・・，０，１，１，０，・・）

の面数公式については，

［１］浅切頂正単体｛３．・・・，３｝（１，１，０，・・・，０）

［２］中点切頂正単体｛３．・・・，３｝（０，１，０，・・・，０）

の面数公式が必要になるものと考えられる．

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