置換多面体の場合・・・Ｎk^(n)＝n+1Ｃk+1
正軸体版の場合・・・・Ｎk^(n)＝２^(k+1)nＣk+1
として，面数公式は
ｆk^(n)＝Σ(j=0~k)Ｎj^(n)ｆ(k-j)^(n-1ｰj) （ｋ≦ｎ−２）
ときれいな形にまとまった．また，ｆn^(n)＝１とすれば（ｋ≦ｎ−１）とすることもできる．しかも，コラム「正多角形の対角線の交点数」に掲げた交点数公式ほど荘厳でいかめしいものでもない．この美とエレガンス（気品）を鑑賞していただけたであろうか．
もうひとつ調べてみたい多面体がある．それは空間充填２^n＋２ｎ面体である．現在わかっているのは
２次元：（ｆ0，ｆ1）＝（４，４）
３次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2）＝（２４，３６，１４）＝切頂八面体
４次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3）＝（２４，９６，９６，２４）＝正２４細胞体の３つだけであり，また，ｎのパリティー（奇数か偶数か）によって違いを生ずるということである．すなわち，ｎが偶数か奇数かのケースにわける必要がある．
また，ｆ1＝ｎ／２・ｆ0も成り立たないから単純多面体ではないし，置換多面体にみられた逐次構造も有していないようである．
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【１】超立方体の切頂型
超立方体の角を切り落とした図形は，簡単な図形ではない（一種の準正多胞体）．大変複雑な形になって，奇数次元の場合と偶数次元の場合とでも中央の次元の頂点（４次元の場合（１，１，０，０））を通るか，それとも頂点を通らないかの差が生じる．
切り方が薄い（浅い）場合，切頂八面体が８胞と切り口の正四面体１６胞からなる図形になる．各辺の中点で切れば前者は立方八面体になるから，立方八面体８胞と正四面体１６胞．切り方が深い場合は余り簡単な図形にはならない．
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【２】正軸体の切頂型
正１６胞体を２４本の辺の中点で切った残りは２４胞体であるが，それ以外は一般に２種類の胞（正多面体と準正多面体）に囲まれた図形になる．
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【３】再考
ｎ次元の立方体（頂点数２^n）の全頂点からは一斉に２^n個切り落として残る図形＝ｎ次元の正軸体（頂点数２ｎ）の全頂点からは一斉に２ｎ個切り落として残る図形を考えてみよう．
その場合であっても，切り口が辺の中点，面の中心，胞の中心，・・・などを通るときにできる特別な図形に要点があるのか，それともそのように移っていく途中の推移が問題なのかによって話が違ってくるが，たとえば，３次元の立方体については
［１］辺心に達するまで：切頂六面体
［２］辺心 ：立方八面体
［３］辺心から面心の間：切頂八面体の形
［４］面心 ：正八面体
同じことであるが，正八面体については
［１］辺心に達するまで：切頂八面体
［２］辺心 ：立方八面体
［３］辺心から面心の間：切頂六面体
［４］面心 ：正六面体
また，４次元の超立方体については
［１］辺の中点を通る場合：立方八面体と正四面体で囲まれる図形
［２］面の中心を通る場合：正２４胞体
［３］胞の中心を通る場合：正１６胞体
になる．ただし，これは例外的に簡単な場合で，５次元以上の超立方体については一般的な形はわかっていないように思われる（だから研究する価値がある）．
４次元の場合もこのように追ってゆけば概略の形が見当つくが，中間の形は大変に複雑なものになる．たとえば，４次元の超立方体の場合，面の中心を通るような切断では全体として正２４胞体ができる．その中間では正１６胞体や正２４胞体を切断（必ずしも切頂でなく，場合によっては胞に平行に切った形など）した形が現れるようである．いずれにせよ，その形を構成するにはかなりの洞察力がいるようだ．
空間充填２^n＋２ｎ面体について洞察してみると
［１］たとえば，３次元立方体の辺の中点と面の中心の間を通る場合（あるいはその双対として正八面体の面の中心と辺の中心の間を通る場合），１２個の辺ができ，正方形面をむすぶ正六角形面となります（切頂八面体）
［２］４次元の超立方体の２次元面の面２４個の中心をとる操作の双対として，正１６胞体の２４本の辺の中点をとることを考えます．その場合，正１６胞体の各胞となる正四面体の中に１６個の正八面体ができます．このときさらに小四角錐が結びついて８個の頂点の周りに８個の正八面体ができ，合計２４個の正八面体に囲まれた図形（正２４胞体）ができます．
［３］５次元の超立方体の２次元面と３次元面の面の間を通る場合（あるいはその双対として５次元正軸体の３次元面の中心と２次元面の間を通る場合），全体を１次元上げて正八面体の面となる三角形面が正四面体になったものを想像してみます．正四面体の頂点と辺の中点の間を通る場合，切頂六面体と正八面体（小四角錐）ができます．
［４］６次元の超立方体の３次元面の面１６０個の中心を通る場合，全体を１次元上げて正八面体の面となる三角形面が正四面体になったものを想像してみます．正四面体の辺の中点を通ることになり，正八面体と正八面体（小四角錐）ができます．
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【４】まとめ
［１］３次元立方体の辺の中点と面の中心の間を通る場合
切頂八面体（正方形と正六角形で囲まれる図形）
［２］４次元立方体の面の中心を通る場合
正２４胞体（正八面体で囲まれる図形）
［３］５次元立方体の面の中心と３次元面の中心を通る場合
４２胞体（正八面体と切頂四面体で囲まれる図形）
［４］６次元立方体の３次元面の中心を通る場合
７６胞体（正八面体で囲まれる図形）
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