（その９）での体積公式の考察はいい線をいっているとは思われるが，明らかな誤りがある．まずは原正多胞体の２次元面〜（ｎ−２）次元面にある胞を考慮していないことであるが，それでは置換多面体およびその正軸体版の底面（胞）はどのような構成になっているのであろうか？
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【１】置換多面体の場合
１次元置換多面体は線分，２次元置換多面体は六角形である．３次元置換多面体である切頂八面体は８枚の六角形と６枚の正方形からなるが，４枚の六角形＋６枚の正方形＋４枚の六角形と考える．それぞれ，２次元置換多面体＋１次元置換多面体柱＋２次元置換多面体である．
同様に，４次元置換多面体は１０個の切頂八面体と２０個の六角柱からなるが，５個の切頂八面体＋１０個の六角柱＋１０個の六角柱＋５個の切頂八面体と考える．３次元置換多面体＋２次元置換多面体柱＋２次元置換多面体柱＋３次元置換多面体である．
これから類推すると，５次元置換多面体は６個の４次元置換多面体＋１５個の３次元置換多面体柱＋２０個の（２次元置換多面体柱）柱＋１５個の３次元置換多面体柱＋６個の４次元置換多面体柱，６次元置換多面体は７個の５次元置換多面体＋２１個の４次元置換多面体柱＋３５個の（３次元置換多面体柱）柱＋３５個の）３次元置換多面体柱）柱＋２１個の４次元置換多面体柱＋７個の５次元置換多面体となるのであろうか？
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【２】正軸体版の場合
１次元正軸体版は線分，２次元正軸体版は八角形である．３次元正軸体版である大菱形立方八面体は８枚の八角形と６枚の六角形と１２枚の正方形からなるが，８枚の正八角形＋１２枚の正方形＋８枚の六角形と考える．それぞれ，２次元正軸体版＋（１次元正軸体版柱＝正方形＝１次元置換多面体柱）＋２次元置換多面体である．
同様に，４次元正軸体版である大菱形立方八面体は６枚の八角形と１２枚の正方形と８枚の六角形からなるが，
これから類推すると４次元正軸体版は８個の３次元正軸体版＋２４個の２次正軸体版柱＋３２個の２次元置換多面体柱＋１６個の３次元置換多面体，５次元正軸体版は１０個の４次元正軸体版＋４０個の３次元正軸体版柱＋８０個の（（２次元正軸体柱）柱＝立方体＝（２次元置換多面体柱））＋８０個の３次元置換多面体柱＋３２個の４次元置換多面体，６次元置換多面体は１２個の５次元正軸体版＋６０個の４次元正軸体版柱＋１６０個の（３次元正軸体版柱）柱＋２４０個の（３次元置換多面体柱）柱＋１９２個の５次元置換多面体柱＋６４個の５次元置換多面体となるのであろうか？
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【３】底面までの距離
体積公式には
（１，１，・・・，１，１，１）
（１，１，・・・，１，１，０）
（１，１，・・・，１，０，０）
・・・・・・・・・・・・・・・
（１，１，１，０，・・・，０）
（１，１，０，・，０，０，０）
（１，０，・・・，０，０，０）
方向のすべての面心との距離が必要になり，たとえば，（１，１，１，０，・・・，０）方向の面心は
（（ｘ＋ｙ＋ｚ）／３，（ｘ＋ｙ＋ｚ）／３，（ｘ＋ｙ＋ｚ）／３，０，・・・，０））．すなわち，正軸体版では（ｘ，０，・・・，０）に始まり（１／ｎ，・・・，１／ｎ）に終わる．
たとえば，３次元の場合は
［１］（１，１，１）方向の面心は（（ｘ＋ｙ＋ｚ）／３，（ｘ＋ｙ＋ｚ）／３，（ｘ＋ｙ＋ｚ）／３）．
［２］（１，１，０）方向の面心は（（ｘ＋ｙ）／２，（ｘ＋ｙ）／２，０）．
［３］（１，０，０）方向の面心は（ｘ，０，０）．
（その９）では，置換多面体の場合も（ｘ，０，・・・，０，０）に始まり（１／ｎ，・・・，１／ｎ，０）に終わると考えたが，そこに誤解があるようである．たとえば，３次元の場合は
［１］（１，１，１，１）方向→２４頂点からなる切頂八面体
（（ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ）／４，（ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ）／４，（ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ）／４）
［２］（１，１，１，０）方向
（（ｘ＋ｙ＋ｚ）／３，（ｘ＋ｙ＋ｚ）／３，（ｘ＋ｙ＋ｚ）／３，ｗ）
［３］（１，１，０，０）方向
（ｘ，ｙ，（ｚ＋ｗ）／２，（ｚ＋ｗ）／２）
［４］（１，０，０，０）方向
（ｘ，（ｙ＋ｚ＋ｗ）／３，（ｙ＋ｚ＋ｗ）／３，（ｙ＋ｚ＋ｗ）／３）
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【３】まとめ
原正多胞体の面数公式を
置換多面体の場合・・・Ｎk^(n)＝n+1Ｃk+1
正軸体版の場合・・・・Ｎk^(n)＝２^(k+1)nＣk+1
また，規格化した後のｋ次元面までの距離をｈkとする．
［１］置換多面体の場合
Ｖn＝Ｎ0Ｖn-1ｈ0／ｎ＋Ｎ1Ｖn-2ｈ1／ｎ＋・・・＋Ｎn-2Ｖn-2ｈn-2／ｎ＋Ｎn-1Ｖn-1ｈn-1／ｎ
ｎが奇数のとき，中央項はｎ次元の単位立方体（体積１）になる．
［２］正軸体版の場合
Λn＝Ｎ0Λn-1ｈ0／ｎ＋Ｎ1Λn-2ｈ1／ｎ＋・・・＋Ｎn-2Ｖn-2ｈn-2／ｎ＋Ｎn-1Ｖn-1ｈn-1／ｎ
ｎが奇数のとき，中央項はｎ次元の単位立方体（体積１）になる．
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