｛３，・・・３，３｝（１，・・・，１，１）系と｛３，・・・３，４｝（１，・・・，１，１）系の体積公式については，まだ一般式を得ていません．次はこれらの体積公式を求めてみたいと思います．
平行体の体積は行列式（グラミアン）で与えられることから，ゾノトープの体積は平行体に分解して，平行体の体積がグラミアンで与えられることを用いればよいのですが，とはいえ，置換多面体およびその正軸体版についての効率的な体積計算法は十中八九ありません．そこで，直接計算する方針を変更して，漸化式の形で求めたいと思います．
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【１】漸化式による方法
コラム「ｎ次元の立方体と直角三角錐」シリーズで考えた方法を採用します．ｎ次元単位置換多面体の体積をＶn，その正軸体版の体積をΛnとおきます．
［１］ｎ次元置換多面体では，正（ｎ＋１）胞体の（ｎ＋１）頂点にｎ−１次元置換多面体が配置されている．また，自己双対であるから，正（ｎ＋１）胞体の（ｎ＋１）胞にもｎ−１次元置換多面体が配置されている．また，正（ｎ＋１）胞体のn+1Ｃ2辺にはｎ−２次元置換多面体柱が配置されている．
［３］ｎ次元正軸体版は，正２^n胞体の２ｎ頂点にｎ−１次元正軸体版が配置されている．正２^n胞体の２^n胞にはｎ−１次元置換多面体が配置されている．また，正２^n胞体の４nＣ2辺にはｎ−２次元正軸体版柱が配置されている．
これらの底体積がわかっているので，底面（超平面）までの距離がわかりさえすれば，あとは三角形の面積は底辺かける高さ割る２，三角錐になると底面積かける高さ割る３，四次元の三角錐なら底体積かける高さ割る４，五次元なら底四次元面積かける高さ割る５・・・．
結局，
Ｖn＝ｕＶn-1＋ｖＶn-2
Λn＝ｕΛn-1＋ｖΛn-2＋ｗＶn-1
で与えられることがわかる．
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【２】超平面までの距離
（その７）において，超平面までの距離を計算したが，辺の長さを用いて規格化する必要がある．これについては，地道に計算を続行するしかない．
［１］正軸体版の場合
３次元の場合，ｘ≧ｙ≧ｚ≧０なる点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）が与えられたとき，ずべての稜線の長さが等しくなるのは，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝０平面までの距離を等しくとると
（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝ｚ
→ ｙ＝ｚ＋√２ｚ
ｘ＝ｙ＋√２ｚ＝ｚ＋２√２ｚ
これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＝１上の点であるから代入すると，
３ｚ＋３√２ｚ＝１ → ｚ＝１／（３＋３√２）
また，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）のｚ＝０平面に対する鏡映は（ｘ，ｙ，−ｚ）であるから，辺の長さは２ｚ．
４次元の場合は，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝ｗ平面，ｗ＝０平面までの距離を等しくとると
（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝（ｚ−ｗ）／√２＝ｗ
→ ｚ＝ｗ＋√２ｗ
ｙ＝ｚ＋√２ｗ＝ｗ＋２√２ｗ
ｘ＝ｙ＋√２ｗ＝ｗ＋３√２ｗ
これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１上の点であるから代入すると，
４ｗ＋６√２ｗ＝１ → ｗ＝１／（４＋６√２）
また，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）のｗ＝０平面に対する鏡映は（ｘ，ｙ，ｚ，−ｗ）であるから，辺の長さは２ｗ
一般には，Ｓ＝ｎ（ｎ−１）／２として
→ ｎω＋Ｓ√２ω＝１，ω＝１／（ｎ＋Ｓ√２）
ｘ＝（１＋（ｎ−１）√２）ω，ｙ＝（１＋（ｎ−２）√２）ω，ｚ＝（１＋（ｎ−３）√２）ω，・・・，ｗ＝ω，辺の長さは２ω．
［ａ］胞心面までの距離
胞心は（１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）→１／√ｎ
［ｂ］辺心面までの距離
切稜されていなければ辺心は（１／２，１／２，０，・・・，０）であるが，切稜されているので，中心は
（（ｘ＋ｙ）／２，（ｘ＋ｙ）／２，０，・・・，０）．
［ｃ］頂点までの距離
切頂されていなければ頂点は（１，０，・・・，０）であるが，切頂されているので，中心は（ｘ，０，・・・，０）．
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［２］置換多面体の場合
３次元の場合，全体を１次元あげて４次元正単体の境界多面体
Ｖ1（１，０，０，０）
Ｖ2（０，１，０，０）
Ｖ3（０，０，１，０）
Ｖ4（０，０，０，１）
ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１
をとるとしよう．
ｘ≧ｙ≧ｚ≧ｗ≧０なる点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）が与えられたとき，ずべての稜線の長さが等しくなるのは，点Ｐからｗ＝０平面，ｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝ｗ平面までの距離が等しいときである．点Ｐをｎ−１次元境界多面体上の点（ｗ＝０）として，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，０）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝ｗ平面までの距離を等しくとると
（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝（ｚ−ｗ）／√２
→ ｘ＝３ｚ，ｙ＝２ｚ，ｚ＝ｚ，ｗ＝０
これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１上の点であるから代入すると，６ｚ＝１
→ ｘ＝１／２，ｙ＝１／３，ｚ＝１／６，ｗ＝０
一般には，Ｓ＝ｎ（ｎ＋１）／２として
→ ｘ＝ｎ／Ｓ，ｙ＝（ｎ−１）／Ｓ，ｚ＝（ｎ−２）／ｓ，・・・，ｗ＝０
また，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）のｘ＝ｙ平面に対する鏡映は（ｙ，ｘ，ｚ，ｗ）であるから，辺の長さは√２｜ｘ−ｙ｜＝√２／Ｓ．
［ａ］胞心面までの距離
それぞれの胞心は
ｃ（Ａ）＝（１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ，０）
であるから，それと中心座標
ｃ（Ｓ）＝（１／（ｎ＋１），・・・，１／（ｎ＋１））
の距離を求める．
［ｂ］辺心面までの距離
切稜されていなければ辺心は（１／２，１／２，０，・・・，０）であるが，切稜されているので，中心は
（（ｘ＋ｙ）／２，（ｘ＋ｙ）／２，０，・・・，０）．
それと中心座標
ｃ（Ｓ）＝（１／（ｎ＋１），・・・，１／（ｎ＋１））
の距離を求める．
［ｃ］頂点までの距離
切頂されていなければ頂点は（１，０，・・・，０）であるが，切頂されているので，中心は（ｘ，０，０）．それと中心座標
ｃ（Ｓ）＝（１／（ｎ＋１），・・・，１／（ｎ＋１））
の距離を求める．
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【３】まとめ
［１］正軸体版の場合
規格化した後，
Ｖn＝ｕＶn-1＋ｖＶn-2
ｕ＝（ｎ＋１）（ａ＋ｃ）／ｎ
ｖ＝n+1Ｃ2ｂ／ｎ
［２］置換多面体の場合
規格化した後，
Λn＝ｕΛn-1＋ｖΛn-2＋ｗＶn-1
ｕ＝２ｎｃ／ｎ
ｖ＝２^nａ／ｎ
ｗ＝４n+1Ｃ2ｂ／ｎ
で与えられる．
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