Ｐ^2＝（４／ｎ）^n（４・２／ｎ）^n(n-1)/2（４・３／ｎ）^n(n-1)(n-2)/6・・・（４・ｎ／ｎ）＝（４／ｎ）^(2^n-1)・Πｋ^（ｎ，ｋ）

の非整除性の問題に対しては，

［１］２^m≦ｎとなる自然数の中で最大の数をｍとする方法

［２］ｐ≦ｎとなる最大の素数をｐとする方法

などが考えられるところであるが，（その２１）（その２２）で行った路線の延長である［１］が現実的であろう．

　（その２２）でｎ＞１６ではＰ^2は整数にはならないことが証明（？）されているが，今回のコラムではこの下限を引き下げてみたい．

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　区間［１，２^k］には２の平方数・立方数などが含まれるが，偶数はｋ−１個，２の平方で割り切れる数はｋ−２個，２の立方で割り切れる数はｋ−３個，２のｋ乗で割り切れる数は１個あるから，

　　ｎ＝２^k(k-1)/2Ｋ　　　（Ｋはｎ以下のすべての素因数の積）

と書くことができる．

　ラフにスケッチすると，すべての整数のうちで，２の平方で割り切れる数は（２のｋ乗数も含めて）１／２^2程度，２の立方で割り切れる数は（２のｋ乗数も含めて）１／２^3程度あるから，２のｋ乗までわたってとれば，近似的に

　　１＋１／２＋１／２^2＋１／２^3＋・・・＋１／２^k＜２

したがって，最大で見積もって

　　２^2(2^(2^k)-1)

程度にしかならなかった．

　２のところがｋ（ｋ−１）／２^kに変わるが，これで少しは精緻化することができるだろう．

　一方，

　　（４／２^k）^(2^(2^k)-1)＝１／２^(k-2)(2^(2^k)-1)

であるから，

　　ｋ−２＞ｋ（ｋ−１）／２^k

　　２^k＞ｋ（ｋ−１）／（ｋ−２）＝ｋ＋１＋２／（ｋ−２）

ｋ＞３，すなわち，ｎ＞２^3＝８ではＰ^2は整数にはならないことになる．

　（その２１）では手計算でｎ＝８までの非整除性を確認しているので，これで計算機に頼らなくても証明（？）されたことになる．

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［雑感］

　なお，阪本ひろむ氏の解説によると，

［１］オーバーフローするケースについて

　Mathematicaは計算結果（整数／整数）の形のものはちゃんと求めていて，結果は整数かどうかをきちんと判定している．しかし，その後の近似値（数値）を求める段階でオーバーフローが発生していると考えられる．

［２］inderteminate not integerとなるケースについて

　Mathematicaは整数／整数の形のデータをもち，それが整数となるか判断できる．すなわち，近似値でなく厳密な結果である．

　しかし，通分して分子，分母がたまたま大きい整数のとき，近似値の計算で∞／∞と判断してしまうのである．だから（近似値が求まらなくても）これ以上計算することにはある程度意味があるようだ．

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