置換多面体のｆ3公式でつまづいてしまったが，それは後回しにして，正軸体版のｆ2公式を調べてみたい．正軸体は正単体とは違って自己双対でないから，その分厄介になるはずだ．
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【１】正軸体版の逐次構造
［１］大菱形立方八面体の正八面体の６頂点に配置された６枚の正八角形の頂点同士，辺同士を結ぶことを考える．６枚の正八角形の辺数の合計は４８．このとき，新たにできる辺は正方形面の側面にある２辺×１２＝２４だけである．したがって，大菱形立方八面体の辺数は合計７２本である．
また，２辺を結ぶと面ができるから，単純に考えると新たにできる面数は２４となるはずである．しかし，このうち正八面体の面に配置された８カ所は共面となるので，８枚の正六角形ができる．また，正八面体の辺に配置された１２カ所には１２枚の正方形ができるので，６＋１２＋８＝２６面体となるわけである．
［２］４次元正軸体版では，正１６胞体の８頂点に大菱形立方八面体が配置されているが，８個の大菱形立方八面体の辺数の合計は７２本×８＝５７６である．このとき，新たにできる辺は八角柱の側面にある８本×２４＝１９２（＝六角柱の側面にある６本×３２＝１９２）であるから，８個の大菱形立方八面体の辺数を加えて合計７６８本となる．
また，８個の大菱形立方八面体の面数の合計は２６面×８＝２０８である．このとき，単純に考えると新たにできる面数は２０８／２＝１０４となるが，このうち正１６胞体の胞に配置された１６カ所は切頂八面体（共面）となるので，新たに４枚の正六角形ができる．また，正１６胞体の辺に配置された２４カ所には新たに八角柱の側面（８面）×２４＝１９２（＝辺に配置された３２カ所には新たに六角柱の側面（６面）×３２＝１９２）枚の正方形ができるので，合計２０８＋６４＋１９２＝４６４面となる．
正１６胞体の胞に配置されたところには８個の切頂八面体ができる．また，正１６胞体の辺と面に配置されたところにはそれぞれ２４個の八角柱と３２個の六角柱ができるので，８＋２４＋３２＋１６＝８０胞体となるわけである．
［３］５次元正軸体版では，正３２胞体の１０頂点に４次元正軸体版が配置されているが，１０個の４次元正軸体版の辺数の合計は７６８本×１０＝７６８０である．このとき，新たにできる辺は大菱形立方八面体の側面にある４８本×４０＝１９２０であるから，１０個の４次元正軸体版の辺数を加えて合計９６００本となる．
また，１０個の４次元正軸体版の面数の合計は４６４面×１０＝４６４０である．このとき，単純に考えると新たにできる面数は４６４０／２＝２３２０となるが，このうち正３２胞体の胞に配置された３２カ所は４次元置換多面体（共面）となるので，新たに２０枚の正六角形ができる．また，正３２胞体の辺に配置された４０カ所には新たに大菱形立方八面体柱の側面（７２面）×４０＝２８８０枚の正方形ができるので，合計４６４０＋６４０＋２８８０＝８１６０面となる．
正３２胞体の胞に配置されたところには３２個の４次元置換多面体ができる．また，正１６胞体の辺と面と３次元面に配置されたところにはそれぞれ新たな胞ができるので，１０＋４０＋８０＋８０＋３２＝２４２胞体となるわけである．
［４］６次元正軸体版では，正６４胞体の１２頂点に５次元正軸体版が配置されているが，１２個の５次元正軸体版の辺数の合計は９６００本×１２＝１１５２００である．このとき，新たにできる辺は４次元正軸体版柱の側面にある３８４本×６０＝２３０４０であるから，１２個の５次元置換多面体の辺数を加えて合計１３８２４０本となる．
また，１２個の５次元正軸体版の面数の合計は８１６０面×１２＝９７９２０である．このとき，単純に考えると新たにできる面数は９７９２０／２＝４８９６０となるが，このうち正６４胞体の胞に配置された６４カ所は５次元置換多面体（共面）となるので，新たに１２０枚の正六角形ができる．また，正６４胞体の辺に配置された６０カ所には新たに４次元正軸体柱の側面（７６８面）×６０＝４６０８０枚の正方形ができるので，合計９７９２０＋７６８０＋４６０８０＝１５１６８０面となる．
正６４胞体の胞に配置されたところには６４個の５次元置換多面体ができる．また，正６胞体の辺と面と３次元面と４次元面に配置されたところにはそれぞれ新たな胞ができるので，１２＋６０＋１６０＋２４０＋１９２＋６４＝７２８胞体となるわけである．
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【２】正軸体版のｇ1，ｇ2公式 （ｎ≧４）
置換多面体のｆ1，ｆ2公式と区別するためにｇ1，ｇ2公式とするが，
ｇ1^(n)＝２nＣ1ｇ1^(n-1)＋２^2nＣ2ｇ0^(n-2)
＝２ｎｇ1^(n-1)＋２ｎ（ｎ−１）ｇ0^(n-2)
ｇ2^(n)＝２nＣ1ｇ2^(n-1)＋２^2nＣ2ｇ1^(n-2)＋２^nｎ！／６
＝２ｎｇ2^(n-1)＋２ｎ（ｎ−１）ｇ1^(n-2)＋ｇ0^(n)／３！
これらの組み合わせ論的な意味は上に述べたとおりである．
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